Função convexa

Em matemática, uma função f de [a,b] em R é dita convexa se a região sobre o seu gráfico, ou seja, o conjunto:

${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\,|\,y\geq f(x)\}}$

For um conjunto convexo. Isto equivale a afirmar que, para quaisquer x e y pertencentes a [a,b] e para todo t ∈ [0,1], tem-se:

${\displaystyle f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)}$

Ou seja, uma função é convexa se a imagem pela função de qualquer combinação convexa entre dois pontos do domínio resulte em um valor que é no máximo igual à combinação convexa das imagens desses pontos. Uma função diz-se estritamente convexa se, para quaisquer x e y pertencentes a [a,b] e para todo t ∈ (0,1), se tiver:

${\displaystyle f(tx+(1-t)y)<tf(x)+(1-t)f(y)}$

Definição formal

Seja ${\displaystyle f:A\rightarrow \mathbb {R} }$, definida no conjunto convexo ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{N}}$. Sejam também dois pontos x e y do domínio e a constante ${\displaystyle \alpha \in \left[0,1\right]}$. Então:

A função será...	Se e somente se...	Exemplo visual
Convexa	${\displaystyle f(tx+(1-t)y){\color {Red}\leq }tf(x)+(1-t)f(y)}$
Estritamente convexa	${\displaystyle f(tx+(1-t)y){\color {Red}<}tf(x)+(1-t)f(y)}$
Côncava	${\displaystyle f(tx+(1-t)y){\color {Red}\geq }tf(x)+(1-t)f(y)}$[1]
Estritamente côncava (e portanto também côncava)	${\displaystyle f(tx+(1-t)y){\color {Red}>}tf(x)+(1-t)f(y)}$[1]
Quasicôncava	${\displaystyle f\left[\alpha x+\left(1-\alpha \right)y\right]{\color {Red}\geq }\min\{f(x),f(y)\}}$ [2]
Estritamente quasicôncava (e portanto também quasicôncava)	${\displaystyle f\left(x\right)\geq t}$, ${\displaystyle f\left(y\right)\geq t}$ e ${\displaystyle x\neq y}$ implicarem necessariamente que ${\displaystyle f\left[\alpha x+\left(1-\alpha \right)y\right]{\color {Red}>}t}$ [2]
Quasiconvexa	${\displaystyle f\left[\alpha x+\left(1-\alpha \right)y\right]{\color {Red}\leq }\max\{f(x),f(y)\}}$ [2]

Propriedades das funções convexas

• Uma função convexa em [a,b] é sempre contínua em (a,b).
• Uma função contínua num intervalo I é convexa se e somente se:

  ${\displaystyle f\left({\frac {x+y}{2}}\right)\leq {\frac {f(x)+f(y)}{2}}}$ para qualquer x,y ∈ I.

• Uma função diferenciável é convexa num intervalo se e só se a sua derivada é monótona não decrescente nesse intervalo.
• Uma função continuamente diferenciavel de uma variável é convexa num intervalo, se e só se:

  ${\displaystyle f(y)\geq f(x)+f'(x)(y-x)}$, para todos x e y no intervalo.

• Uma função duas vezes diferenciável de uma variável é convexa num intervalo se e somente se, a sua segunda derivada é maior ou igual a zero em todo o intervalo.
• Se a sua segunda derivada é estritamente positiva então a função é estritamente convexa.
• Se uma função convexa possui um mínimo local, ele também será um mínimo global.
• Uma função estritamente convexa possui no máximo um mínimo.
• O máximo de funções convexas também é uma função convexa.

Exemplos

• A função ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ é convexa.
• A função ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ é convexa.
• O valor absoluto é uma função convexa ${\displaystyle \left(f(x)=|x|\right)}$

Extensões

Seja ${\displaystyle \mathbb {V} }$ um espaço vetorial e ${\displaystyle C}$ um conjunto convexo contido em ${\displaystyle \mathbb {V} }$, então um função ${\displaystyle f:C\to \mathbb {R} }$ é dita convexa se:

${\displaystyle f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)}$ para todo ${\displaystyle t}$ em [0,1].

E estritamente convexa se:

${\displaystyle f(tx+(1-t)y)<tf(x)+(1-t)f(y)}$ para todo ${\displaystyle t}$ em (0,1) e ${\displaystyle x\neq y}$.

Exemplos

• Toda norma ou semi-norma é convexa, pela desigualdade triangular
• Todo funcional linear em ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ é convexo.

Aplicações

• Funções convexas são amplamente utilizadas para demonstrar desigualdades tais como a desigualdade de Young.
• A convexidade desempenha um papel muito importante na aplicação de métodos variacionais para EDPs não-lineares.

Ver também

• Desigualdade de Jensen

Referências