Desigualdade de Young

Em matemática, a desigualdade de Young, devida ao matemático William Henry Young, afirma que se p e q são números reais positivos tais que 1/p + 1/q = 1, então, para todo par de números reais a e b não negativos vale a desigualdade:

a b ≤ a p p + b q q . {\displaystyle ab\leq {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}.}

A igualdade vale se e somente se ap = bq. Algumas vezes, números reais positivos p e q com a propriedade mencionada são denominados conjugados de Lebesgue.

Young com ε {\displaystyle \varepsilon }

A desigualdade de Young também tem pode tomar a seguinte forma:

a b ≤ ε a p + C ( ε ) b q {\displaystyle ab\leq \varepsilon a^{p}+C(\varepsilon )b^{q}}

O que pode ser provado pelo seguinte:

a b = ( ξ a ) ( b ξ ) ≤ 1 p ( ξ a ) p + 1 q ( b ξ ) q = ξ p p a p + 1 q ξ q b q {\displaystyle ab=\left(\xi a\right)\left({\frac {b}{\xi }}\right)\leq {\frac {1}{p}}\left(\xi a\right)^{p}+{\frac {1}{q}}\left({\frac {b}{\xi }}\right)^{q}={\frac {\xi ^{p}}{p}}a^{p}+{\frac {1}{q\xi ^{q}}}b^{q}}
Escreva ε = ξ p p , {\displaystyle \varepsilon ={\frac {\xi ^{p}}{p}},} ou seja, ξ = ( ε p ) 1 / p {\displaystyle \xi =\left(\varepsilon p\right)^{1/p}}

Conclua que:

a b ≤ ε a p + 1 q ( ε p ) q / p b q = ε a p + C ( ε ) b q {\displaystyle ab\leq \varepsilon a^{p}+{\frac {1}{q(\varepsilon p)^{q/p}}}b^{q}=\varepsilon a^{p}+C(\varepsilon )b^{q}}

Caso particular

Para o caso p = q = 2, a Desigualdade de Young, tem uma prova elementar, obtida ao se considerar para a e b reais ,

0 ≤ ( a − b ) 2 = a 2 + b 2 − 2 a b . {\displaystyle 0\leq (a-b)^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab.}

Ao somar 2ab a expressão anterior e dividir por 2 obtém-se o resultado procurado. A desigual de Young com ε é obtida da anterior considerando

a ′ = a / ε ,   b ′ = b / ε . {\displaystyle a'=a/{\sqrt {\varepsilon }},{\text{ }}b'=b/{\sqrt {\varepsilon }}.}

Aplicação

A desigualdade de Young é utilizada na demonstração da desigualdade de Hölder, sendo também amplamente utilizada no estabelecimento de estimativas com normas em espaços de Sobolev com aplicações na teoria das EDPs não lineares.

Demonstração

A prova no caso ab = 0 é trivial, então consideramos a, b > 0. Caso tenhamos ap = bq, usando que 1/p + 1/q = 1,

a b = a ( b q ) 1 / q = a a p / q = a p / p a p / q = a p ( 1 / p + 1 / q ) = a p = a p ⋅ 1 = a p ⋅ ( 1 p + 1 q ) = a p p + b q q , {\displaystyle ab=a(b^{q})^{1/q}=aa^{p/q}=a^{p/p}a^{p/q}=a^{p(1/p+1/q)}=a^{p}=a^{p}\cdot 1=a^{p}\cdot {\Bigl (}{1 \over p}+{1 \over q}{\Bigr )}={a^{p} \over p}+{b^{q} \over q},}

Agora, para o caso ap ≠ bp, note que a função f(x) = exp(x) é estritamente convexa, pois f"(x) > 0 para todo x real. Então, para todo t no intervalo (0,1) e todos números reais x,y com x ≠ y,

f ( t x + ( 1 − t ) y ) ≤ t f ( x ) + ( 1 − t ) f ( y ) . {\displaystyle f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y).}

Apliquemos isso para t = 1/p, 1 - t = 1/q, x = ln ap e y = ln bq

a b = exp ⁡ ( ln ⁡ a b ) = exp ⁡ ( ln ⁡ a p p + ln ⁡ b q q ) < exp ⁡ ( ln ⁡ a p ) p + exp ⁡ ( ln ⁡ b q ) q = a p p + b q q , {\displaystyle ab=\exp(\ln ab)=\exp {\Bigl (}{\frac {\ln a^{p}}{p}}+{\frac {\ln b^{q}}{q}}{\Bigr )}<{\frac {\exp(\ln a^{p})}{p}}+{\frac {\exp(\ln b^{q})}{q}}={\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}},}

que demonstra o resultado.

Ver também

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