Funcional

Em matemática, em especial álgebra linear e análise, define-se como funcional, toda função cujo domínio é um espaço vetorial e a imagem é o corpo de escalares. Intuitivamente, pode-se dizer que um funcional é uma "função de uma função"^[1].

Há autores que exigem que um funcional seja linear por definição, deixando o termo aplicação não-linear para designar tais funcionais não lineares.

A história, no entanto, consagrou o termo funcional de Minkowski para certas funções não lineares definidas em espaços vetoriais topológicos localmente convexos.

Definições formais

• Seja ${\displaystyle \mathbb {V} }$ um espaço vetorial sobre um corpo ${\displaystyle \mathbb {K} }$, então é um funcional qualquer função ${\displaystyle \mathbb {V} \to \mathbb {K} }$.

Como este espaço vetorial ${\displaystyle \mathbb {V} }$ (domínio de um funcional) geralmente é de funções^[2], há outra definição específica para este caso:

• Um funcional J é uma regra de correspondência que associa a cada função "f" em uma certa classe ${\displaystyle \mathbb {V} }$ um único número real^[1].
  • O conjunto ${\displaystyle \mathbb {V} }$, o domínio, é uma classe de funções.
  • O conjunto de números reais associados com as funções em ${\displaystyle \mathbb {V} }$ é chamado de conjunto imagem do funcional.

Exemplo

Considere ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ sobre o corpo dos números reais, onde cada vetor pode ser denotado por ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2})}$ . Eis alguns exemplos de funcionais:

• ${\displaystyle l_{1}(\mathbf {x} )=x_{1}}$
• ${\displaystyle l_{2}(\mathbf {x} )=x_{2}}$
• ${\displaystyle l_{3}(\mathbf {x} )=\|\mathbf {x} \|={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}}}$
• ${\displaystyle l_{4}(\mathbf {x} )=\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2},~~\mathbf {y} =(y_{1},y_{2})}$ é um vetor dado.

Classificação

• Um funcional é dito funcional linear se for linear, ou seja, se ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$ são escalares:

  ${\displaystyle l(\alpha x+\beta y)=\alpha l(x)+\beta l(y)}$

• Um funcional em um espaço vetorial topológico é dito funcional contínuo se for contínuo.
• Um funcional em um espaço vetorial topológico é dito funcional limitado se sua imagem leva conjuntos limitados em conjuntos limitados.
• um funcional linear em um espaço vetorial topológico é contínuo se e somente se for limitado.

Ver também

• Espaço dual
• Teorema da representação de Riesz

Referências

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