O produto fibrado (ou pullback) é uma construção de teoria das categorias.
Definição
Dadas duas setas e , de uma categoria C qualquer, com destino comum , o produto fibrado de é um objeto e duas setas e tal que:
, onde ;
Para qualquer outra tripla tal que , existe uma única seta tal que e .
Neste caso, diz-se que
é quadrado de produto fibrado.
O conceito dual do produto fibrado é a soma amalgamada.
Como o produto fibrado é caso particular do limite em teoria das categorias, produtos fibrados (se existem) são únicos a menos de isomorfismo.[1]
Exemplo
Na categoria dos conjuntos o produto fibrado de e é o conjunto , com as restrições das projeções e a .
Propriedade
Pullbacks podem ser concatenados. Mais precisamente, dado diagrama comutativo numa categoria qualquer
se os quadrados ABCD e CDEF são diagramas de produto fibrado, então o retângulo exterior ABEF também é. Ainda mais, se o retângulo exterior ABEF e o quadrado direito CDEF são diagramas de produto fibrado, então o quadrado esquerdo ABCD também é.[2]
Produto fibrado de família de morfismos
Há também o conceito de produto fibrado para mais de dois morfismos. Seja família de morfismos na categoria . Um produto fibrado (ou pullback) dessa família é um objeto , junto a outra família de morfismos e um morfismo , tal que:
para qualquer índice ;
para qualquer família de morfismos e morfismo tais que para qualquer índice , há único morfismo tal que e para cada .[3]
O morfismo (que só foi explicitado acima para o caso ) também é chamado de pullback.