Na teoria das categorias, limites e colimites generalizam diversas construções, sendo produtos e coprodutos uns de seus mais simples casos particulares.[1][2]
Definição
Sejam
categorias, a primeira chamada categoria de índices, e functor
. Aqui, para cada
, denota-se por
o functor constante, definido por:
para cada
;
para cada
morfismo em
.[3]
Cones
Um cone do vértice
ao functor
é uma transformação natural
, e, dualmente, um cone de
ao vértice
é uma transformação natural
.[4] Em símbolos:
A condição de naturalidade para cones de
a
é
para cada
em
, ou seja,
e cones de
a
satisfazem a condição dual.
Adicionalmente, temos functor
(e analogamente
); para cada
,
leva uma transformação natural de componentes
a uma de componentes
.[5]
Limites e colimites
Em cada representação
o objeto
é chamado de limite de
; o correspondente elemento universal
é chamado cone limitante. Noutras palavras,
é cone limitante se e só se, para cada outro cone
, há precisamente uma seta
tal que
para cada
.
Dualmente, numa representação
o objeto
é chamado de colimite de
, e o elemento universal
é chamado cone colimitante.
Limites e colimites são únicos a menos de isomorfismo (pelo Lema de Yoneda), e são denotados respectivamente por
,
.[4][1][2]
Exemplos
Um limite para um functor
é chamado:
- produto quando
é categoria discreta (isto é, todos os seus morfismos são identidades). No caso de produtos binários, a representação acima se reduz a:
onde
são as imagens de
nos dois objetos de
. - objeto terminal quando
é vazia. A representação acima se reduz a:
onde
é conjunto de exatamente um elemento. - equalizador quando
(duas identidades, e outros dois morfismos paralelos que não são identidades). - produto fibrado (ou pullback) quando
.
Dualmente, um colimite para
é chamado:
- coproduto quando
é discreta. - objeto inicial quando
é vazia. - coequalizador quando
. - coproduto fibrado (ou pushout) quando
.[6][2][1]
Quando a categoria
é uma pré-ordem,
- o limite de um functor
é o ínfimo
. - o colimite de um functor
é o supremo
.[7]
Existência
Categorias completas e cocompletas
Uma categoria
é dita (pequeno-)completa se e só se, para cada categoria pequena
, todo functor
tem limite. Dualmente,
é (pequeno-)cocompleta se e só se todo functor
tal que
é categoria pequena tem colimite.
Se
tem todos os produtos pequenos e todos os equalizadores (de duplas de morfismos), então
é completa. Com efeito, um limite de
é o domínio
do equalizador:
em que as duas setas paralelas são definidas por (abaixo,
denota as projeções dos produtos):
e o cone limitante tem componentes
para cada
.[8]
Na categoria dos conjuntos
A categoria
dos conjuntos pequenos é pequeno-completa e pequeno-cocompleta. Há fórmulas explícitas para os limites e os colimites de um functor
:
onde
é a menor relação de equivalência satisfazendo (abaixo,
denota as inclusões no coproduto):
para cada
e
.[9][10]
Adjunção com o functor diagonal Δ
O functor
tem adjunto direito se e só se
admite todos os limites indexados por
, e tem adjunto esquerdo se e só se
admite todos os limites indexados por
:
,
.
Neste caso,
, isto é, os operadores limite e colimite podem ser estendidos a functores
.[11]
Functores e limites
Um functor
:
- preserva os limites de
se e só se, para cada cone limitante
, também
é cone limitante. - reflete os limites de
se e só se, para cada cone
tal que
é cone limitante, também
é cone limitante. - cria os limites de um functor
tal que
tem limite se e só se
também tem limite, e
preserva e reflete os limites de
.[12] - estritamente cria os limites de
se e só se, para cada cone limitante
, há único
e cone
tal que
, e ainda mais este
é cone limitante.[13]
(Mac Lane usa o termo cria em vez de estritamente cria.[14]) Há definições análogas para a preservação, reflexão e criação de colimites.
Um functor
é dito (pequeno-)contínuo (respectivamente cocontínuo) quando preserva todos os limites pequenos (respectivamente colimites pequenos).
Os functores
são sempre contínuos.[15] Assim, têm-se isomorfismos:[16]
Propriedades
Limites pontualmente
Um limite de um functor F : J → CA existe precisamente quando cada functor Ea ∘ F : J → C tem limite (onde Ea : CA → C é a aplicação em a), e neste caso o limite é um functor L : A → C tal que L(a) é limite de Ea ∘ F para cada a ∈ A.[17]
Limites comutam
Seja functor F : I × J → C tal que, para cada i ∈ I, F(i, –) : J → C tem limite. Então, esses limites formam um functor
- limj ∈ J F(–, j) : I → C,
que tem limite precisamente quando F : I × J → C tem limite.
Em particular, quando os limites abaixo existem, há isomorfismo
- limi ∈ I limj ∈ J F(i, j) ≅ limj ∈ J limi ∈ I F(i, j).[18]
Troca de limite com colimite
Para cada functor F : I × J → C, há uma seta "canônica"
- colimi ∈ I limj ∈ J F(i, j) → limj ∈ J colimi ∈ I F(i, j),
quando existem os limites e colimites adequados. Se C é a categoria dos conjuntos, uma das situações nas quais essa seta é isomorfismo é quando J é categoria finita e I é categoria filtrada (isto é, cada functor K → I com K finita tem cone a algum objeto de I); brevemente, limites finitos comutam com colimites filtrados na categoria dos conjuntos.[18]
Referências
- ↑ a b c (Mac Lane, §III.3)
- ↑ a b c (Mac Lane, §III.4)
- ↑ (Mac Lane, §III.3."colimits")
- ↑ a b (Riehl, §3.1)
- ↑ (Riehl, exercício 3.1.i)
- ↑ (Riehl, §3.1, págs. 77–81)
- ↑ (Riehl, Prefácio."A tour of basic categorical notions", pág. xiv)
- ↑ (Mac Lane, §V.1, §V.2)
- ↑ (Riehl, §3.2)
- ↑ «Limits and colimits by example – nLab». Consultado em 22 de fevereiro de 2020
- ↑ (Riehl, §4.5)
- ↑ «Created limit – nLab». Consultado em 16 de fevereiro de 2020
- ↑ (Riehl, §3.3)
- ↑ (Mac Lane, §V.1, definição)
- ↑ (Mac Lane, §V.4)
- ↑ (Riehl, §3.4)
- ↑ (Riehl, §3.3, proposição 3.3.9)
- ↑ a b (Riehl, §3.8)
Bibliografia
- RIEHL, Emily (2014). Category Theory in Context. [S.l.: s.n.]
- MAC LANE, Saunders (1997). Categories for the Working Mathematician 2 ed. [S.l.]: Springer. ISBN 0-387-98403-8
Ligações externas
- «Category Theory Demonstrations» (em inglês). Página que gera exemplos de limites e colimites na categoria dos conjuntos finitos.
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