Przeciwobraz

Przeciwobraz – zbiór wszystkich elementów dziedziny, które są odwzorowywane na elementy danego podzbioru przeciwdziedziny^[1].

Dalej ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ oznacza funkcję (w szczególności, np. w algebrze liniowej, operator) ze zbioru ${\displaystyle X}$ w zbiór ${\displaystyle Y.}$ Przeciwobrazem zbioru ${\displaystyle B\subseteq Y}$ względem ${\displaystyle f}$ nazywa się podzbiór zbioru ${\displaystyle X}$ określony wzorem

${\displaystyle f^{-1}[B]=\{x\in X\colon f(x)\in B\}.}$

Przeciwobraz zbioru jednoelementowego, oznaczany symbolem ${\displaystyle f^{-1}[\scriptstyle \{y\}]}$ lub ${\displaystyle f^{-1}[y],}$ nazywa się włóknem nad ${\displaystyle y}$ lub poziomicą lub warstwicą ${\displaystyle y.}$

Zbiór wszystkich włókien nad elementami ${\displaystyle Y}$ tworzy rodzinę zbiorów indeksowaną przez ${\displaystyle Y.}$ Prowadzi to do pojęcia kategorii rozwłóknień.

Jeśli nie ma ryzyka pomyłki, to ${\displaystyle f^{-1}[B]}$ można oznaczać symbolem ${\displaystyle f^{-1}(B)}$ i myśleć o ${\displaystyle f^{-1}}$ jako o funkcji ze zbioru potęgowego ${\displaystyle Y}$ w zbiór potęgowy ${\displaystyle X.}$ Oznaczenie ${\displaystyle f^{-1}}$ może przywodzić na myśl notację odrębnego pojęcia funkcji odwrotnej, które pokrywa się z pojęciem przeciwobrazu wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle f}$ jest bijekcją.

Przeciwobraz można zdefiniować nie tylko dla funkcji, ale ogólnie dla wszystkich relacji dwuargumentowych.

Przykłady

• ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ dana wzorem ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}.}$

  Włóknami (poziomicami) ${\displaystyle f^{-1}[a]}$ są okręgi o wspólnym środku w początku układu współrzędnych, sam początek i zbiór pusty, w zależności od wartości parametru ${\displaystyle a,}$ odpowiednio: ${\displaystyle a>0,}$ ${\displaystyle a=0}$ oraz ${\displaystyle a<0.}$

Przypisy

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Pre-Image, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-10-10].
• Ten artykuł zawiera materiał z artykułu Fibre na PlanetMath, który został udostępniony na licencji Creative Commons Attribution/Share-Alike License.