十三角形

正十三角形

十三角形（じゅうさんかくけい、じゅうさんかっけい、triskaidecagon）は、多角形の一つで、13本の辺と13個の頂点を持つ図形である。内角の和は1980°、対角線の本数は65本である。

正十三角形

正十三角形においては、中心角と外角は27.692307…°で、内角は152.307692…°となる（下線部は循環節）。一辺の長さが a の正十三角形の面積 S は

S = 13 4 a 2 cot ⁡ π 13 ≃ 13.1858 a 2 {\displaystyle S={\frac {13}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{13}}\simeq 13.1858\,a^{2}}

となる。

cos ⁡ ( 2 π / 13 ) {\displaystyle \cos(2\pi /13)} を平方根と立方根で表すと[1]、

cos ⁡ 2 π 13 = − 1 + 13 12 + 1 6 26 − 5 13 + 3 i 39 2 3 + 1 6 26 − 5 13 − 3 i 39 2 3 = 0.8854560... {\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{13}}={\frac {-1+{\sqrt {13}}}{12}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{\frac {26-5{\sqrt {13}}+3i{\sqrt {39}}}{2}}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{\frac {26-5{\sqrt {13}}-3i{\sqrt {39}}}{2}}}=0.8854560...}

Trigonometric constants expressed in real radicalsより

cos ⁡ 2 π 13 = 13 − 1 + 104 − 20 13 − 12 i 39 3 + 104 − 20 13 + 12 i 39 3 12 {\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{13}}={\frac {{\sqrt {13}}-1+{\sqrt[{3}]{104-20{\sqrt {13}}-12i{\sqrt {39}}}}+{\sqrt[{3}]{104-20{\sqrt {13}}+12i{\sqrt {39}}}}}{12}}}

また、以下の関係が成り立つ。

2 cos ⁡ 2 π 13 + 2 cos ⁡ 10 π 13 = − 2 + − 260 − 156 3 i 3 ω + − 260 + 156 3 i 3 ω 2 6 = 1 3 ( − 1 + 13 ⋅ − 5 − 3 3 i 2 13 3 ω + 13 ⋅ − 5 + 3 3 i 2 13 3 ω 2 ) {\displaystyle 2\cos {\frac {2\pi }{13}}+2\cos {\frac {10\pi }{13}}={\frac {-2+{\sqrt[{3}]{-260-156{\sqrt {3}}i}}\omega +{\sqrt[{3}]{-260+156{\sqrt {3}}i}}\omega ^{2}}{6}}={\frac {1}{3}}\left(-1+{\sqrt {13}}\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {-5-3{\sqrt {3}}i}{2{\sqrt {13}}}}}\omega +{\sqrt {13}}\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {-5+3{\sqrt {3}}i}{2{\sqrt {13}}}}}\omega ^{2}\right)}
2 cos ⁡ 4 π 13 + 2 cos ⁡ 6 π 13 = − 2 + − 260 − 156 3 i 3 + − 260 + 156 3 i 3 6 = 1 3 ( − 1 + 13 ⋅ − 5 − 3 3 i 2 13 3 + 13 ⋅ − 5 + 3 3 i 2 13 3 ) {\displaystyle 2\cos {\frac {4\pi }{13}}+2\cos {\frac {6\pi }{13}}={\frac {-2+{\sqrt[{3}]{-260-156{\sqrt {3}}i}}+{\sqrt[{3}]{-260+156{\sqrt {3}}i}}}{6}}={\frac {1}{3}}\left(-1+{\sqrt {13}}\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {-5-3{\sqrt {3}}i}{2{\sqrt {13}}}}}+{\sqrt {13}}\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {-5+3{\sqrt {3}}i}{2{\sqrt {13}}}}}\right)}
2 cos ⁡ 8 π 13 + 2 cos ⁡ 12 π 13 = − 2 + − 260 − 156 3 i 3 ω 2 + − 260 + 156 3 i 3 ω 6 = 1 3 ( − 1 + 13 ⋅ − 5 − 3 3 i 2 13 3 ω 2 + 13 ⋅ − 5 + 3 3 i 2 13 3 ω ) {\displaystyle 2\cos {\frac {8\pi }{13}}+2\cos {\frac {12\pi }{13}}={\frac {-2+{\sqrt[{3}]{-260-156{\sqrt {3}}i}}\omega ^{2}+{\sqrt[{3}]{-260+156{\sqrt {3}}i}}\omega }{6}}={\frac {1}{3}}\left(-1+{\sqrt {13}}\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {-5-3{\sqrt {3}}i}{2{\sqrt {13}}}}}\omega ^{2}+{\sqrt {13}}\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {-5+3{\sqrt {3}}i}{2{\sqrt {13}}}}}\omega \right)}

正十三角形の作図

正十三角形はコンパスと定規による作図が不可能な図形である。

正十三角形は折紙により作図可能である[2]。

正十三角形を用いたもの

チェコの20コルナ硬貨やチュニジアの200ミリーム硬貨は正十三角形をしている。

20コルナ硬貨

脚注

[脚注の使い方]
  1. ^ z¹³=1 の解法　と　cos(2π/13) の値 | てっぃちMarshの数学（Mathematics)教室
  2. ^ 平成 24 年度　上越教育大学公開講座 折紙の数学

関連項目

外部リンク

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  • Weisstein, Eric W. "Tridecagon". mathworld.wolfram.com (英語).
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非古典的 (2辺以下)
辺の数: 3–10
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  • 正六角形
  • 円に内接する六角形
  • 円に外接する六角形
  • ルモワーヌの六角形（英語版）
辺の数: 11–20
辺の数: 21–30
辺の数: 31–40
辺の数: 41–50
辺の数: 51–70
（selected）
辺の数: 71–100
（selected）
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（selected）
無限
星型多角形
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多角形のクラス
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