Trou noir de Schwarzschild

En astrophysique, le trou noir de Schwarzschild^[1] est, par définition, un trou noir :

• de masse ${\displaystyle M}$ strictement positive : ${\displaystyle M>0}$ ;
• dont la charge électrique ${\displaystyle Q}$ est nulle : ${\displaystyle Q=0}$ ;
• dont le moment cinétique ${\displaystyle J}$ est nul : ${\displaystyle J=0}$, c'est-à-dire qui n'est pas en rotation ;
• dont la singularité gravitationnelle est ponctuelle ;
• dont l'horizon des événements est une hypersurface de rayon ${\displaystyle R_{h}}$ égal au rayon de Schwarzschild ${\displaystyle R_{s}}$ : ${\displaystyle R_{h}=R_{s}}$ ;
• dont l'ergosphère est confondue avec l'horizon des événements, de sorte qu'il n'existe pas d'ergorégion^[2].

Plus formellement, c'est le trou noir obtenu en résolvant l'équation d'Einstein de la relativité générale, pour une masse immobile, sphérique, qui ne tourne pas et sans charge électrique. La métrique satisfaisant à ces conditions est alors appelée la métrique de Schwarzschild.

Le trou noir de Schwarzschild s'interprète comme l'« état fondamental » — c'est-à-dire comme l'« état de plus basse énergie possible » — d'un trou noir de masse donnée^[3]. Il représente l'état final d'un trou noir de Kerr de l'ergorégion duquel toute l'énergie de rotation aurait été extraite par processus de Penrose^[4],[5],[6].

Historique

L'éponyme^[7] du trou noir de Schwarzschild^[8] est l'astronome allemand Karl Schwarzschild (1873-1916).

Le terme de trou noir "black hole" est inventé en 1967 par le physicien américain John Wheeler. Il avait déjà été imaginé au XVIII^e siècle par Laplace : « Un astre lumineux de même diamètre que la Terre, dont la densité serait deux cent cinquante fois plus grande que celle du Soleil, ne laisserait en vertu de son attraction, parvenir aucun de ses rayons jusqu’à nous ». Cette idée n’a rien à voir ni avec la relativité générale ni avec Schwarzschild puisque prévu par la mécanique newtonienne.

La métrique de Schwarzschild, de laquelle dérivent les solutions de l'équation d'Einstein qu'on identifie aux trous noirs de Schwarzschild, a été obtenue la première fois par Schwarzschild, peu après la publication de la théorie de la relativité générale par Albert Einstein en 1915.

Propriétés

Masse

L'espace-temps, dont la métrique de Schwarzschild décrit la géométrie, ne contient un trou noir que si la masse est strictement positive (m > 0) et le vide (T_μν = 0) s'étend jusqu'au rayon de Schwarzschild^[9],[10].

La masse ${\displaystyle M}$ d'un trou noir de Schwarzschild est un nombre réel positif non nul : ${\displaystyle M\in \mathbb {R} _{+}^{*}}$, soit ${\displaystyle \left\{M\in \mathbb {R} \mid M>0\right\}}$^[11]. En effet, avec une masse négative, la métrique de Schwarzschild exhibe une singularité nue^[11].

La masse ${\displaystyle M}$ d'un trou noir de Schwarzschild est égale à la masse irréductible ${\displaystyle M_{irr}}$ d'un trou noir de Kerr^[12].

Dernière orbite circulaire stable

Le rayon de la dernière orbite circulaire stable (r_ISCO) sur laquelle une particule massive peut se mouvoir autour d'un trou noir de Schwarzschild est donnée par^[13],[14] :

${\displaystyle r_{\mathrm {ISCO} }={\frac {6GM}{c^{2}}}}$.

Horizon des événements

L'aire de l'horizon des événements (A_H) d'un trou noir de Schwarzschild est celle d'une sphère (A_H = 4πr²) dont le rayon aréolaire (r = √A_H / 4π) est, par définition, le rayon de Schwarzschild (R_S = 2GM / c²)^{[15],[16],[17]} :

${\displaystyle A_{\mathrm {H} }=4\pi R_{\mathrm {S} }^{2}={\frac {16\pi G^{2}M^{2}}{c^{4}}}}$.

L'horizon des événements d'un trou noir de Schwarzschild coïncide avec d'autres horizons :

• horizon de Killing (en)^[18] ;
• horizon apparent (en)^[18].

L'horizon des événements d'un trou noir de Schwarzschild est dit surface de décalage infini vers le rouge : des photons émis par une source statique juste à l'extérieur de l'horizon ont une longueur d'onde infinie quand elle est mesurée par des observateurs statiques à l'infini^[9].

Il est aussi dit limite statique : il ne peut pas exister d'observateurs statiques à l'intérieur de l'horizon^[9].

À l'horizon des événements, la gravité de surface (κ_H) est donnée par^[19] :

${\displaystyle \kappa _{\mathrm {H} }={\frac {GM}{R_{\mathrm {S} }^{2}}}={\frac {c^{4}}{4GM}}}$.

Singularité

La singularité gravitationnelle, localisée au-delà de l'horizon, est ponctuelle, future, du genre espace^[20].

Absence d'ergorégion

Dans un espace-temps stationnaire, l'ergorégion est la région où le champ de Killing associé à la stationnarité devient de genre espace^[21]. Dans le cas d'un trou noir de Schwarzschild, la limite de l'ergorégion coïncide avec l'horizon des événements^[21]. Ainsi, nulle ergorégion ne s'étend à l'extérieur d'un trou noir de Schwarzschild^[21].

Théorème de Birkhoff

Un théorème remarquable dû à Birkhoff affirme que la métrique de Schwarzschild est l'unique solution aux équations d'Einstein dans le vide possédant la symétrie sphérique. Comme la métrique de Schwarzschild est également statique, ceci montre qu'en fait dans le vide toute solution sphérique est automatiquement statique^{[N 1]}.

Ce théorème a une conséquence importante :

Un trou noir de Schwarzschild dans le vide, n'étant pas soumis à une quelconque interaction, ne peut pas émettre d'onde gravitationnelle.

Théorème de calvitie

Le théorème d'unicité d'Israel^{[N 2]} ou, en forme courte, le théorème d'Israel^{[N 3]} est le théorème qui établit l'unicité du trou noir de Schwarzschild^[23],[24]. Il est le premier des théorèmes d'unicités relatifs aux trous noir^[25],[26]. Son éponyme est Werner Israel (1931-2022) l'a présenté en 1967^[25],[27]. Antérieurement, Georges Darmois (1888-1960) avait conjecturé l'unicité du trou noir de Schwarzschild^[28]. La preuve du théorème a été améliorée par Müller zum Hagen et al. en 1973^[29] et 1974 et par Robinson en 1974 et 1977^[30]. De nouvelles preuves du théorème ont été apportées par Simon en 1985, par Bunting et Masood ul Alam en 1987 et par celui-ci en 1992^[30].

Le théorème de calvitie dit la chose suivante :

Un trou noir est entièrement décrit par trois paramètres essentiels, qui à eux seuls, permettent de retrouver tous les autres : la masse la charge électrique sa rotation (son moment angulaire)

Lorsqu'une étoile s'effondre en un trou noir, les valeurs des paramètres cités au-dessus sont conservées. Ce qui veut dire qu'un trou noir de Schwarzschild, de masse M, de charge nulle et de moment angulaire nul est né à partir d'une étoile ayant un moment angulaire nul, de charge nulle et ayant la même masse.

La nécessité d'avoir une étoile de charge et de moment angulaire nuls font que, dans l'absolu, ce genre de trou noir est plus théorique qu'autre chose. Cependant, en pratique, ce modèle reste satisfaisant pour la plupart des trous noirs d'origine stellaire, la charge réelle d'une étoile étant faible et sa vitesse de rotation négligeable par rapport à la vitesse de la lumière.

Tous les autres paramètres que les trois cités au-dessus, comme la température, sa pression... disparaissent. On ne peut donc, à partir d'un trou noir dont on connaît masse, charge et moment angulaire, retrouver les autres paramètres de l'étoile génitrice.

Notes et références

Notes

Références

Voir aussi

Bibliographie

• [Alekseev, Polychronakos et Smedbäck 2003] (en) A. Y. Alekseev, A. P. Polychronakos et M. Smedbäck, « On area and entropy of a black hole » [« Sur l'aire et l'entropie du trou noir »], Phys. Lett. B, vol. 574, n^os 3-4,‎ 13 nov. 2003, art. n^o 22, p. 296-300 (DOI 10.1016/j.physletb.2003.08.062, Bibcode 2003PhLB..574..296A, arXiv hep-th/0004036, résumé, lire en ligne).
• [Choquet-Bruhat 2008] (en) Yvonne Choquet-Bruhat, General relativity and the Einstein equations [« Relativité générale et équations d'Einstein »], Oxford, OUP, coll. « Oxford mathematical monographs », décembre 2008, 1^re éd., XXIV-785 p., 15,6 × 23,4 cm (ISBN 978-0-19-923072-3, EAN 9780199230723, OCLC 493785270, DOI 10.1093/acprof:oso/9780199230723.001.0001, S2CID 118382508, SUDOC 130297577, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Chow 2007] (en) T. L. Chow, Gravity, black holes, and the very early universe : an introduction to general relativity and cosmology [« Gravitation, trous noirs, et univers primordial : une introduction à la relativité générale et à la cosmologie »], New York, Springer, hors coll., déc. 2007 (réimpr. août 2008 et oct. 2010), 1^re éd., 1 vol., XV-280, ill., 24 cm (ISBN 978-0-387-73629-7 et 978-1-4419-2525-1, EAN 9780387736297, OCLC 470773111, BNF 41311440, DOI 10.1007/978-0-387-73631-0, SUDOC 122058917, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Ferrari, Gualtieri et Pani 2020] (en) Valeria Ferrari, Leonardo Gualtieri et Paolo Pani, General relativity and its applications : black holes, compact stars, and gravitational waves [« La relativité générale et ses applications : trous noirs, étoiles compactes, et ondes gravitationnelles »], Boca Raton, CRC, hors coll., 22 décembre 2020, 1^re éd., XVIII-475 p., 17,8 × 25,4 cm (ISBN 978-1-138-58977-3 et 978-0-367-62532-0, EAN 9781138589773, OCLC 1247682853, DOI 10.1201/9780429491405, SUDOC 255050844, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Giddings et Thomas 2002] (en) S. B. Giddings et S. Thomas, « High energy colliders as black hole factories : the end of short distance physics » [« Les collisionneurs à haute énergie en tant que fabriques de trous noirs : la fin de la physique à courte distance »], Phys. Rev. D, vol. 65, n^o 5,‎ 12 mars 2002, id. 056010 (DOI 10.1103/PhysRevD.65.056010, Bibcode 2002PhRvD..65e6010G, arXiv hep-ph/0106219, résumé, lire en ligne).
• [Guidry 2019] (en) Mike Guidry, Stars and stellar processes [« Étoiles et processus stellaires »], Cambridge, CUP, hors coll., février 2019, 1^re éd., XXV-545 p., 19,8 × 25,3 cm (ISBN 978-1-107-19788-6, EAN 9781107197886, OCLC 1117307551, BNF 45674475, DOI 10.1017/9781108181914, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Kiefer 2012] (en) C. Kiefer, Quantum gravity [« Gravitation quantique »], Oxford, OUP, coll. « International series of monographs on physics » (n^o 155), mai 2012, 3^e éd. (1^re éd. 2004), 1 vol., XII-393, ill., 26 cm (ISBN 978-0-19-958520-5, EAN 9780199585205, OCLC 816551732, BNF 42723237, DOI 10.1093/acprof:oso/9780199585205.001.0001, SUDOC 162426763, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Maggiore 2018] (en) M. Maggiore, Gravitational waves [« Ondes gravitationnelles »], t. II : Astrophysics and cosmology [« Astrophysique et cosmologie »], Oxford, OUP, hors coll., 22 mai 2018, 1^re éd., 1 vol., XIV-820, ill., 26 cm (ISBN 978-0-19-857089-9, EAN 9780198570899, OCLC 1030746535, BNF 45338294, DOI 10.1093/oso/9780198570899.001.0001, SUDOC 225716968, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Ohanian et Ruffini 2013] (en) Hans C. Ohanian et Remo Ruffini, Gravitation and spacetime [« Gravitation et espace-temps »], Cambridge, CUP, hors coll., mai 2013, 3^e éd. (1^re éd. 1976), XVI-528 p., 17,8 × 25,4 cm (ISBN 978-1-107-01294-3, EAN 9781107012943, OCLC 867754443, DOI 10.1017/CBO9781139003391, Bibcode 2013grsp.book.....O, SUDOC 170135675, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Poisson et Will 2014] (en) Eric Poisson et Clifford M. Will, Gravity : newtonian, post-newtonian, relativistic, Cambridge, CUP, hors coll., mai 2014, 1^re éd., XIV-780 p., 19,3 × 25,3 cm (ISBN 978-1-107-03286-6, EAN 9781107032866, OCLC 881740360, S2CID 119067447, SUDOC 178990973, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Romero et Vila 2013] (en) G. E. Romero et G. S. Vila, Introduction to black hole astrophysics [« Introduction à l'astrophysique des trous noirs »], Heidelberg, Springer, coll. « Lecture notes in physics » (n^o 876), oct. 2013, 1^re éd., 1 vol., XVIII-318, ill., 24 cm (ISBN 978-3-642-39595-6, EAN 9783642395956, OCLC 869343537, DOI 10.1007/978-3-642-39596-3, Bibcode 2014LNP...876.....R, SUDOC 175903727, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Shäfer 2015] (en) G. Shäfer, « Higher order post-newtonian dynamics of compact binary systems in hamiltonian form », dans D. Puetzfeld, C. Lämmerzahl et B. Schutz (éd.), Equations of motion in relativistic gravity [« Équations du mouvement en gravitation relativiste »], Cham, Springer, coll. « Fundamental theories of physics » (n^o 179), 2015, 1^re éd., 1 vol., XIII-840, ill., 24 cm (ISBN 978-3-319-18334-3 et 978-3-319-38670-6, EAN 9783319183343, OCLC 928336945, DOI 10.1007/978-3-319-18335-0, SUDOC 18937036X, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 18, p. 587-614.
• [Frolov et Zelnikov 2011] (en) Valeri P. Frolov et Andrei Zelnikov, Introduction to black hole physics, Oxford et New York, OUP, hors coll., septembre 2011 (réimpr. mars 2015), 1^re éd., XVI-488 p., 17,1 × 24,6 cm (ISBN 978-0-19-969229-3 et 978-0-19-872911-2, EAN 9780199692293, OCLC 800612795, DOI 10.1093/acprof:oso/9780199692293.001.0001, S2CID 118904888, SUDOC 155996665, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Maggio, Pani et Raposo 2022] (en) Elisa Maggio, Paolo Pani et Guilherme Raposo, « Testing the nature of dark compact objects with gravitational waves », dans Cosimo Bambi, Stavros Katsanevas et Konstantinos D. Kokkotasge (éd.), Handbook of gravitational wave astronomy, Singapour, Springer, coll. « Reference work », juillet 2022, 1^re éd., XXVII-1899 p., 16,3 × 24,1 cm (ISBN 978-981-16-4305-7, EAN 9789811643057, OCLC 1257403657, DOI 10.1007/978-981-16-4306-4, Bibcode 2022hgwa.book.....B, S2CID 242013080, présentation en ligne, lire en ligne), partie III, chap. 28, p. 1139-1175.
• [Baumgarte et Shapiro 2010] (en) Thomas W. Baumgarte et Stuart L. Shapiro, Numerical relativity : solving Einstein's equations on the computer, CUP, hors coll., juin 2010, 1^re éd., XVIII-698 p., 19,3 × 25,3 cm (ISBN 978-0-521-51407-1, EAN 9780521514071, OCLC 716879027, DOI 10.1017/CBO9781139193344, Bibcode 2010nure.book.....B, S2CID 118294154, SUDOC 146498992, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Woodhouse 2006] (en) Nicholas M. J. Woodhouse, General relativity, Londres, Springer, coll. « Springer undergraduate mathematics series », décembre 2006, 1^re éd., IX-219 p., 17,8 × 25,4 cm (ISBN 978-1-84628-486-1, EAN 9781846284861, OCLC 494635060, DOI 10.1007/978-1-84628-487-8, SUDOC 117330280, présentation en ligne, lire en ligne).

Dictionnaires

• [Ridpath 2012] (en) I. Ridpath, A dictionary of astronomy [« Un dictionnaire d'astronomie »], Oxford, OUP, coll. « OPR », sept. 2007 (réimpr. rév. janv. 2012), 2^e éd. (1^re éd. nov. 1997), 1 vol., VII-534, ill., 19,6 cm (ISBN 978-0-19-960905-5, EAN 9780199609055, OCLC 800887673, DOI 10.1093/acref/9780199609055.001.0001, SUDOC 15975366X, présentation en ligne, lire en ligne), s.v.Schwarzschild black hole [« Trou noir de Schwarzschild »], p. 413.
• [Taillet, Villain et Febvre 2013] R. Taillet, L. Villain et P. Febvre, Dictionnaire de physique, Bruxelles, De Boeck Sup., hors coll., fév. 2013, 3^e éd. (1^re éd. mai 2008), 1 vol., X-899, ill. et fig., 24 cm (ISBN 978-2-8041-7554-2, EAN 9782804175542, OCLC 842156166, BNF 43541671, SUDOC 167932349, lire en ligne), s.v.trou noir de Schwarzschild, p. 700-701.

Ouvrages fondamentaux

• [Deruelle et Uzan 2018] (en) Nathalie Deruelle et Jean-Philippe Uzan (trad. du français par Patricia Forcrand-Millard), Relativity in modern physics [« Théories de la relativité »] [« La relativité en physique moderne »], Oxford, OUP, coll. « Oxford graduate texts », août 2018, 1^re éd., XI-691 p., 17,1 × 24,6 cm (ISBN 978-0-19-878639-9, EAN 9780198786399, OCLC 1109749749, BNF 45570670, DOI 10.1093/oso/9780198786399.001.0001, S2CID 126350606, SUDOC 229944329, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Misner, Thorne et Wheeler 1973] (en) Charles W. Misner, Kip S. Thorne et John A. Wheeler, Gravitation [« Gravitation »], San Francisco, W. H. Freeman, hors coll., 1973, 1^re éd., XXVI-1279 p., 20 × 25 cm (ISBN 0-7167-0334-3 et 0-7167-0344-0, EAN 9780716703341, OCLC 300307879, BNF 37391055, Bibcode 1973grav.book.....M, SUDOC 004830148, présentation en ligne, lire en ligne).

Théorème d'Israel

• [Heusler 1998] (en) Markus Heusler, « Uniqueness theorems for black hole space-times », dans Friedrich W. Hehl, Claus Kiefer et Ralph J. K. Metzler (éd.), Black holes : theory and observation, Berlin et Heidelberg, Springer, coll. « Lecture notes in physics » (n^o 514), novembre 1998 (réimpr. octobre 2013), 1^re éd., XV-519 p., 15,6 × 23,4 cm (ISBN 3-540-65158-6 et 978-3-662-14175-5, EAN 9783540651581, OCLC 40142983, BNF 37545250, DOI 10.1007/b13593, S2CID 118992482, SUDOC 046260145, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 7, p. 157-186.
• [Israel 1967] (en) Werner Israel, « Event horizons in static vacuum space-times », Phys. Rev., vol. 164, n^o 5,‎ décembre 1967, p. 1776-1779 (OCLC 4644982839, DOI 10.1103/PhysRev.164.1776, Bibcode 1967PhRv..164.1776I, S2CID 121250202, résumé).
• [Mazur 1987] (en) Pawel O. Mazur, « Black hole uniqueness theorems », dans Malcolm A. H. MacCallum (éd.), General relativity and gravitation, Cambridge, CUP, septembre 1987, 1^re éd., XVII-407 p., 15,2 × 22,8 cm (ISBN 0-521-33296-6, EAN 9780521332965, OCLC 15489876, Bibcode 1987grgp.book.....M, zbMATH 0703.53063, SUDOC 020191995, lire en ligne), I^re partie, chap. 7, p. 130-157.
• [Müller zum Hagen, Robinson et Seifert 1973] (en) Henning Müller zum Hagen, David C. Robinson et Hans J. Seifert, « Black holes in static vacuum space-times », General Relativity and Gravitation, vol. 4, n^o 1,‎ février 1973, p. 53-78 (OCLC 5654947933, DOI 10.1007/BF00769760, Bibcode 1973GReGr...4...53H, S2CID 120727347).
• [Robinson 1997] (en) David C. Robinson, « Black hole uniqueness theorems », Classical and Quantum Gravity, vol. 14, n^o 3,‎ mars 1997, p. 25 (OCLC 4654377537, DOI 10.1088/0264-9381/14/3/025, S2CID 120057895).

Articles connexes

• Métrique de Schwarzschild
• Théorème de Birkhoff (relativité)
• Théorème de Birkhoff (électromagnétisme)
• Trou noir de Kerr
• Trou noir de Reissner-Nordström
• Trou noir de Kerr-Newman

Liens externes

• (en) « Schwarzschild black hole » [« Trou noir de Schwarzschild »], sur scienceworld.wolfram.com d'Eric W. Weisstein.
• Notices d'autorité :

  • LCCN

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