Kesirli analiz

Kesirli analiz, matematiksel analiz'in bir koludur. Kesirli analiz, D = d/dx ile gösterilen türev işlemcisi'nin ve J ile gösterilen integrasyon işlemcisi'nin kuvvetlerinin reel sayı veya karmaşık sayı değerler olabilme olanaklarını inceler.

Bu bağlamda bir üst cümlede kullanılan kuvvetleri terimi, doğrusal bir operatörün bir fonksiyona f ²(x) = f(f(x)) şeklinde peşpeşe uygulanmasını ifade eder.

Kesirli diferansiyel denklemler, diferansiyel denklemlerin kesirli analiz uygulanması yoluyla elde edilen bir genellemesidir.

Kesirli türevin doğası

Kesirli türevde diğer bir önemli nokta ise bir x noktasının tam sayı olmasının yalnızca yerel özellik olduğu; tam sayı olmayan durumlarda ise bir şekilde,tam sayı-kuvvet türev yapacak şekilde x a çok yakın f'in değerlerine bağlı bir f fonksiyonunun x'teki kesirli türevleri olduğunu söyleyemeyiz. Bu nedenle teorinin fonksiyon hakkında daha ileri bilgi içeren, sınır koşullarının bazı çeşitlerini içermesi beklenmektedir.

Bir mecaz kullanmak gerekirse kesirli türev, at gözlüklerini çıkartmayı gerektirir. Bildiğimiz kadarıyla böyle bir teorinin varlığı için ilk olarak, konunun temelleri Liouvillenin 1832'deki notlarında atılmıştır.

Artık, a dereceli bir fonksiyonun kesirli türevi genellikle Fourier veya Mellin integral dönüşümleri vasıtasıyla tanımlanmaktadır.^[1]

Sezgisel irdeleme

Burada oldukça doğal bir soru bir H işlemci'sinin var veya yarı-türev nin olup olmadigidir böylece

${\displaystyle H^{2}f(x)=Df(x)={\dfrac {d}{dx}}f(x)=f'(x)}$.

böyle bir işleç olduğu ortaya çıkıyor ve gerçekten herhangi a > 0 için burada var olan bir P işleci

${\displaystyle (P^{a}f)(x)=f'(x)\,}$,

veya dⁿy/dxⁿ'tanımı ile tutulan yöntem n nin tüm gerçek değerlerine uzanabilir.

Diyelimki f(x) ,x > 0 için tanımlı bir fonksiyon olsun.0 dan x a tanımlı bu form:

${\displaystyle (Jf)(x)=\int _{0}^{x}f(t)\;dt}$.

olarak kodlanir ve

${\displaystyle (J^{2}f)(x)=\int _{0}^{x}(Jf)(t)dt=\int _{0}^{x}\left(\int _{0}^{t}f(s)\;ds\right)\;dt}$,

ise bu süreci yineler veya isteğe göre uzatılabilir.Tekrarlı integrasyon için Cauchy formülü:

${\displaystyle (J^{n}f)(x)={1 \over (n-1)!}\int _{0}^{x}(x-t)^{n-1}f(t)\;dt,}$

Gerçek n için bir genelleme basit bir yol içinde yer alır. Faktöriyel fonksiyonunun gamma işlevini kullanarak ayrık doğasını ortadan kaldırmak bize integral işlemcinin kesirli uygulamaları için doğal bir aday verir.

${\displaystyle (J^{\alpha }f)(x)={1 \over \Gamma (\alpha )}\int _{0}^{x}(x-t)^{\alpha -1}f(t)\;dt}$

Bu, aslında iyi tanımlanmış bir operatördür. Bunu basitçe göstermek için J operatörü doyurucudur

${\displaystyle (J^{\alpha })(J^{\beta }f)(x)=(J^{\beta })(J^{\alpha }f)(x)=(J^{\alpha +\beta }f)(x)={1 \over \Gamma (\alpha +\beta )}\int _{0}^{x}(x-t)^{\alpha +\beta -1}f(t)\;dt}$

Kanıtlama

${\displaystyle {\begin{aligned}(J^{\alpha })(J^{\beta }f)(x)&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{x}(x-t)^{\alpha -1}(J^{\beta }f)(t)\;dt\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\int _{0}^{x}\int _{0}^{t}(x-t)^{\alpha -1}(t-s)^{\beta -1}f(s)\;ds\;dt\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\int _{0}^{x}f(s)\left(\int _{s}^{x}(x-t)^{\alpha -1}(t-s)^{\beta -1}\;dt\right)ds\end{aligned}}}$ son adımda biz entegrasyon sırasını değiş tokuş ve t entegrasyonundan burada faktör f (s) çıkarılır. r değişken değiştirme tarafından tanımlanan t = s + (x − s)r, ${\displaystyle (J^{\alpha })(J^{\beta }f)(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\int _{0}^{x}(x-s)^{\alpha +\beta -1}f(s)\left(\int _{0}^{1}(1-r)^{\alpha -1}r^{\beta -1}\;dr\right)ds}$ İçsel integral beta fonksiyonu bunun aşağıdaki tatmin edici özelliğidir : ${\displaystyle \int _{0}^{1}(1-r)^{\alpha -1}r^{\beta -1}\;dr=B(\alpha ,\beta )={\dfrac {\Gamma (\alpha )\,\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}}}$ Denklemin içine geriye koyma ${\displaystyle (J^{\alpha })(J^{\beta }f)(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha +\beta )}}\int _{0}^{x}(x-s)^{\alpha +\beta -1}f(s)\;ds=(J^{\alpha +\beta }f)(x)}$ α ve βnın birbirinin yerine kullanılabilmesi J operatörü içinde uygulandığı sıranın ilgisiz ve ispatı tamamlar olduğunu gösterir.

Bu ilişkililiğe kesirli diferintegral operatörlerin yarı grup özelliği denir. Ne yazık ki türev operatörü D için karşılaştırılabilir süreç çok daha karmaşık, ancak gösterilebilir ki D genel içinde ne değişmeli ne de eklemelidir.^{[kaynak belirtilmeli]}

Bir temel kuvvet fonksiyonun kesirli türevi

varsayalımki f(x) bir formun tek terimlisi(monomiali)dir

${\displaystyle f(x)=x^{k}\;.}$

İlk türev genel olarak

${\displaystyle f'(x)={\dfrac {d}{dx}}f(x)=kx^{k-1}\;.}$

Bu tekrarlama daha genel sonuç verir

${\displaystyle {\dfrac {d^{a}}{dx^{a}}}x^{k}={\dfrac {k!}{(k-a)!}}x^{k-a}\;,}$

Yukarıdan gama fonksiyonu ile faktöriyel değiştirildikten sonra, bizi şuna götürür

${\displaystyle {\dfrac {d^{a}}{dx^{a}}}x^{k}={\dfrac {\Gamma (k+1)}{\Gamma (k-a+1)}}x^{k-a}\;}$ for ${\displaystyle k\geq 0}$

${\displaystyle k=1}$ için ve ${\displaystyle \textstyle a={\frac {1}{2}}}$,

${\displaystyle {\dfrac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}x={\dfrac {\Gamma (1+1)}{\Gamma (1-{\frac {1}{2}}+1)}}x^{1-{\frac {1}{2}}}={\dfrac {1!}{\Gamma ({\frac {3}{2}})}}x^{\frac {1}{2}}={\dfrac {2x^{\frac {1}{2}}}{\sqrt {\pi }}}.}$

olarak ${\displaystyle x}$ fonksiyonunun yarı türevini elde ederiz

Bu süreci veren tekrarlama

${\displaystyle {\dfrac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}2\pi ^{-{\frac {1}{2}}}x^{\frac {1}{2}}=2\pi ^{-{\frac {1}{2}}}{\dfrac {\Gamma (1+{\frac {1}{2}})}{\Gamma ({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}+1)}}x^{{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}}=2\pi ^{-{\frac {1}{2}}}{\dfrac {\Gamma ({\frac {3}{2}})}{\Gamma (1)}}x^{0}={\dfrac {2{\sqrt {\pi }}x^{0}}{2{\sqrt {\pi }}0!}}=1,}$

Nitekim beklenen sonuçlar verecek şekilde

${\displaystyle \left({\dfrac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}{\dfrac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}\right)x={\dfrac {d}{dx}}x=1.}$

Negatif tam sayı kuvveti k için, gama fonksiyonu tanımsız ve aşağıdaki ilişkiyi kullanmak zorunda

^[2]

${\displaystyle {\dfrac {d^{a}}{dx^{a}}}x^{-k}=(-1)^{a}{\dfrac {\Gamma (k+a)}{\Gamma (k)}}x^{-(k+a)}}$ for ${\displaystyle k<0}$

Yukarıdaki diferansiyel operatörün bu uzantısı sadece gerçek güçlere kısıtlı örneğin, 2'nci türevi veren (1 − i)inci türevin, ayrıca a için

negatif değerler bağlamında integral veren fark olması gerekmez.

Genel bir fonksiyon f(x) ve 0 < α < 1 için, tam kesirli türev

${\displaystyle D^{\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (1-\alpha )}}{\frac {d}{dx}}\int _{0}^{x}{\frac {f(t)}{(x-t)^{\alpha }}}dt}$

dir keyfi α,için dolayısıyla gama fonksiyonu böyle bileşen için tanımlanamaz ve gerçek kısmı bir negatif tam sayıdır, Bu uygulama için gerekli kesirli türev sonrası

tam sayı türevi gerçekleştirilmiştir. Örneğin,

${\displaystyle D^{\frac {3}{2}}f(x)=D^{\frac {1}{2}}D^{1}f(x)=D^{\frac {1}{2}}{\frac {d}{dx}}f(x)}$

Laplace dönüşümü

Ayrıca sorudan Laplace dönüşümü

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{Jf\right\}(s)={\mathcal {L}}\left\{\int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau \right\}(s)={\frac {1}{s}}({\mathcal {L}}\left\{f\right\})(s)}$ yoluyla alınabilir

ve

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{J^{2}f\right\}={\frac {1}{s}}({\mathcal {L}}\left\{Jf\right\})(s)={\frac {1}{s^{2}}}({\mathcal {L}}\left\{f\right\})(s)}$

vs, ters laplace;

${\displaystyle J^{\alpha }f={\mathcal {L}}^{-1}\left\{s^{-\alpha }({\mathcal {L}}\{f\})(s)\right\}}$.

örneğin beklenildiği gibi

${\displaystyle {\begin{array}{lcr}J^{\alpha }\left(t^{k}\right)&=&{\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\dfrac {\Gamma (k+1)}{s^{\alpha +k+1}}}\right\}\\&=&{\dfrac {\Gamma (k+1)}{\Gamma (\alpha +k+1)}}t^{\alpha +k}\end{array}}}$

dir.Yani, evrişim kuralı ile

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f*g\}=({\mathcal {L}}\{f\})({\mathcal {L}}\{g\})}$ dir.

ve özetle p(x) = x^{α − 1} için şunu buluruz

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}(J^{\alpha }f)(t)&=&{\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}{\mathcal {L}}^{-1}\left\{\left({\mathcal {L}}\{p\}\right)({\mathcal {L}}\{f\})\right\}\\&=&{\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}(p*f)\\&=&{\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{t}p(t-\tau )f(\tau )\,d\tau \\&=&{\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{t}(t-\tau )^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau \\\end{array}}}$

Yukarıdakiler Cauchy tarafından bize verilmiştir.

Laplace nispeten az sayıda fonksiyonlar üzerinde "iş" dönüştürür, ancak sık sık kesirli diferansiyel denklemlerin çözümü için yararlıdır.

Kesirli integraller

Riemann–Liouville kesirli integrali

Kesirli analizin klasik formu Riemann–Liouville integrali tarafından veriliyor, bu esasen yukarıda tanımlanmıştır. Teori periyodik fonksiyonlar için (bir periyod sonra yinelenen 'sinir değerler' içerir) Weyl integralidir. Bu Fourier serisi üzerinde tanımlanıyor ve Fourier katsayılarının kaybolması gereklidir (böylece, 0 için birim çember üzerindeki fonksiyonlar integrallerin evrimi için uygulanıyor).

${\displaystyle _{a}D_{t}^{-\alpha }f(t)={_{a}I_{t}^{\alpha }}f(t)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{t}(t-\tau )^{\alpha -1}f(\tau )d\tau }$

Grünwald–Letnikov türevi karşıtlığı ile integralin yerine türev ile başlıyor.

Hadamard kesirli integrali

Hadamard kesirli integral'i J. Hadamard ^[3] tarafından tanıtılmış ve formül aşağıda verilmiştir,

${\displaystyle _{a}\mathbf {D} _{t}^{-\alpha }f(t)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{t}{\Bigg (}\log {\frac {t}{\tau }}{\Bigg )}^{\alpha -1}f(\tau ){\frac {d\tau }{\tau }}}$

t > a içindir

Kesirli türevler

Klasik Newton türevleri gibi, bir kesirli türev bir kesirli integrali üzerinden tanımlanamaz

Riemann–Liouville kesirli türevi

Karşılık gelen türev diferansiyel operatörler için Lagrange kuralı kullanılarak, (n − α) derecenin integrali üzerinden n-inci dereceli türev hesaplanır, α dereceli türevi elde edilir. Bu n ifadesinin önemi α dan büyük tam sayıya yakındır

${\displaystyle _{a}D_{t}^{\alpha }f(t)={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}{_{a}D_{t}^{-(n-\alpha )}}f(t)={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}{_{a}I_{t}^{n-\alpha }}f(t)}$

Caputo kesirli türevi

Kesirli türevleri hesaplamak için başka bir seçenek;1967 makalesinde M. Caputo tarafından tanıtılan Caputo kesirli türevidir.^[4] Caputo'nun tanımlaması kullanılarak diferansiyel denklem çözerken Riemann Liouville kesirli türev aksine, bu kesirli mertebeden başlangıç koşullarını tanımlamaya gerek yoktur. Aşağıdaki gibi Caputo tanımı gösterilmiştir.

${\displaystyle {_{a}^{C}D_{t}^{\alpha }}f(t)={\frac {1}{\Gamma (n-\alpha )}}\int _{a}^{t}{\frac {f^{(n)}(\tau )d\tau }{(t-\tau )^{\alpha +1-n}}}}$

Genelleme

Erdélyi–Kober işlemcisi

Erdélyi–Kober işlemcisi bir integral işlemci olup Arthur Erdélyi ve Hermann Kober tarafından 1940'ta tanıtıldı ve aşağıdaki gibi verilir:

${\displaystyle {\frac {x^{-\nu -\alpha +1}}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{x}(t-x)^{\alpha -1}t^{-\alpha -\nu }f(t)dt}$

bunun genellemesi Riemann kesirli integrali ve Weyl integralidir.Yeni bir genelleme ise aşağıdadır ve bununh genellemesi Riemann-Liouville kesirli integrali ve Hadamard kesirli integralidir. Bu ^[5] ile x > a için verilen

${\displaystyle ({}^{\rho }{\mathcal {I}}_{a+}^{\alpha }f)(x)={\frac {\rho ^{1-\alpha }}{\Gamma ({\alpha })}}\int _{a}^{x}{\frac {\tau ^{\rho -1}f(\tau )}{(x^{\rho }-\tau ^{\rho })^{1-\alpha }}}\,d\tau ,}$

Fonksiyonel hesap

fonksiyonel analizin konuları içinde, fonksiyonların f(D) daha genel kuvvetlerinde spektral teorinin fonksiyonel hesabı içindeki çalışmalardır.Sözde-diferansiyel işlemcilerin teorisi D'nin kuvvetlerini ayrıca düşünmemizi sağlar. Ortaya çıkan operatörler tekil integral işlemcilerin örnekleridir; ve yüksek boyutlar için klasik teorinin genelleştirilmesine Riesz potansiyellerinin teorisi denir. Böylece bu çağdaş tutarlı teoride bir sayıdır ve bununla birlikte kesirli hesap tartışılabilir. Ayrıca Erdélyi–Kober işlemcisi, Kober 1940, Erdélyi & 1950–51 'nin özel fonksiyon teorisi içinde önemlidir

Uygulamalar

Kesirli kütle korunumu

Tanıtım olarak Wheatcraft ve Meerschaert (2008) tarafından,^[6] kütle denkleminin bir kesirli korunumu kontrol hacmi sıvı akışını modellemek için gerekli olduğunda heterojenliğin ölçeğine göre yeterince büyük değildir ve kontrol hacmi içinde akı olduğunda doğrusal değildir. Başvuru yapılan yazıda, sıvı akışı için kütle denkleminin kesirli korumasi :

${\displaystyle -\rho (\nabla ^{\alpha }\cdot {\vec {u}})=\Gamma (\alpha +1)\Delta x^{1-\alpha }\rho (\beta _{s}+\phi \beta _{w}){\frac {\partial p}{\partial t}}}$

Kesirli adveksiyon dağılım denklemi

Bu denklemin, heterojen gözenekli ortam içinde kirletici akışı modellemek için kullanışlı olduğu gösterilmiştir.^[7][8][9]

Zaman-uzay kesirli difüzyon denklemi modelleri

Karmaşık ortamda anormal difüzyon süreçleri kesirli-dereceli difüzyon denklem modelleri kullanılarak karakterize edilebilir.^[10][11] Zaman türevi terimi uzun süre ağır kuyruk çürümesi ve yerel olmayan difüzyon için uzay türevine karşılık gelir. Uzay-zaman kesirli difüzyon yönetim denklemi olarak yazılabilir.

${\displaystyle {\frac {\partial ^{\alpha }u}{\partial t^{\alpha }}}=K(-\triangle )^{\beta }u.}$

Kesirli türevin basit bir uzantısı değişken dereceli kesirli türev, α, β ifadeleri α(x, t), β(x, t) içinde değişir. Anormal difüzyon modelleme uygulamaları için kaynak bulunabilir.^[12]

Yapısal sönümleme modelleri

Kesirli türevler polimerler gibi bazı malzeme türlerinde viskoelastik sönümlemeyi modellemek için kullanılır.^[13]

Karmaşık ortam için akustik dalga denklemleri

Kompleks ortamlarda, örneğin biyolojik dokuda akustik dalgaların yayılımı, yaygın bir frekans-güç yasalarına uymanın zayıflaması anlamına gelir. Bu tür olgular, kesirli zaman türevlerini içeren nedensel bir dalga denklemi kullanılarak tarif edilebilir:

${\displaystyle {\nabla ^{2}u-{\dfrac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}+\tau _{\sigma }^{\alpha }{\dfrac {\partial ^{\alpha }}{\partial t^{\alpha }}}\nabla ^{2}u-{\dfrac {\tau _{\epsilon }^{\beta }}{c_{0}^{2}}}{\dfrac {\partial ^{\beta +2}u}{\partial t^{\beta +2}}}=0.}}$

Ayrıca ^[14] buradaki referanslara bakınız. Bu tür modeller birden fazla gevşeme fenomeni ölçülen karmaşık ortamlarda zayıflama doğuran, yaygın olarak tanınan hipotez ile bağlantılıdır. Bu bağlantı ayrıca ^[15] içindeki tanım ve araştırma makalesinde,^[16] akustik zayıflamada ayrıca yazılıdır.

Kuantum teorisinde kesirli Schrödinger denklemi

Kesirli Schrödinger denklemi kesirli kuantum mekaniği nin Nick Laskin tarafından incelenen bir temel denkleminin ^[17] formu aşağıdaki gibidir:^[18]

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=D_{\alpha }(-\hbar ^{2}\Delta )^{\alpha /2}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} ,t)\psi (\mathbf {r} ,t).}$

burada dalga fonksiyonu denkleminin çözümü olması için verilen bir durum vektörüne ψ(r, t) - kuantum mekaniksel parçacık için r olasılık genliği var t herhangi verilen zaman ve ħ indirgenmiş Planck sabitidir.Potansiyel enerji fonksiyonu sistemi üzerinden V(r, t) bağımlıdır.

Ayrıca, Δ = ∂²/∂r² Laplace işlemcisidir ve D_α fiziksel boyut ile bir skala sabitidir.[D_α] = erg^{1 − α}·cm^α·sec^−α, (m kütlenin parçacığı için α = 2 de, D₂ = 1/2m) ve (−ħ²Δ)^α/2 işlemci is the 3-boyutlu kesirli kuantum Riesz türevi ile tanımlanır

${\displaystyle (-\hbar ^{2}\Delta )^{\alpha /2}\psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{(2\pi \hbar )^{3}}}\int d^{3}pe^{i\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} /\hbar }|\mathbf {p} |^{\alpha }\varphi (\mathbf {p} ,t)\,.}$

Kesirli Schrödinger denkleminde α indisi Lévy indisi, 1 < α ≤ 2.

Ayrıca bakınız

• Akustik zayıflama
• Diferintegral
• Diferansiyel denklem
• Kesir dinamikleri
• Kesirli fourier dönüşümü
• Neopolarogram
• Kesirli Schrödinger denklemi
• Özbağlanımlı kesirli bütünleşik hareketli ortalama

Notlar

Kaynakça

• Fractional Integrals and Derivatives: Theory and Applications, by Samko, S.; Kilbas, A.A.; and Marichev, O. Hardcover: 1006 pages. Publisher: Taylor & Francis Books. ISBN 2-88124-864-0
• Theory and Applications of Fractional Differential Equations, by Kilbas, A. A.; Srivastava, H. M.; and Trujillo, J. J. Amsterdam, Netherlands, Elsevier, February 2006. ISBN 0-444-51832-0 (https://web.archive.org/web/20090816133048/http://www.elsevier.com/wps/find/bookdescription.cws_home/707212/description#description)
• An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations, by Kenneth S. Miller, Bertram Ross (Editor). Hardcover: 384 pages. Publisher: John Wiley & Sons; 1 edition (May 19, 1993). ISBN 0-471-58884-9
• The Fractional Calculus; Theory and Applications of Differentiation and Integration to Arbitrary Order (Mathematics in Science and Engineering, V), by Keith B. Oldham, Jerome Spanier. Hardcover. Publisher: Academic Press; (November 1974). ISBN 0-12-525550-0
• Fractional Differential Equations. An Introduction to Fractional Derivatives, Fractional Differential Equations, Some Methods of Their Solution and Some of Their Applications., (Mathematics in Science and Engineering, vol. 198), by Igor Podlubny. Hardcover. Publisher: Academic Press; (October 1998) ISBN 0-12-558840-2
• Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity: An Introduction to Mathematical Models. by F. Mainardi, Imperial College Press, 2010. 368 pages.
• Fractional Dynamics: Applications of Fractional Calculus to Dynamics of Particles, Fields and Media. by V.E. Tarasov, Springer, 2010. 450 pages.
• Fractional Derivatives for Physicists and Engineers 22 Kasım 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. by V.V. Uchaikin, Springer, Higher Education Press, 2012, 385 pages.
• Fractional Calculus - An Introduction for Physicists 14 Ekim 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. by R. Herrmann, World Scientific, Singapore 2014. 500 pages.
• Fractals and quantum mechanics, by N. Laskin. Chaos Vol.10, pp. 780–790 (2000). (http://link.aip.org/link/?CHAOEH/10/780/1 ^{[ölü/kırık bağlantı]})
• Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics, by A. Carpinteri (Editor), F. Mainardi (Editor). Paperback: 348 pages. Publisher: Springer-Verlag Telos; (January 1998). ISBN 3-211-82913-X
• Physics of Fractal Operators, by Bruce J. West, Mauro Bologna, Paolo Grigolini. Hardcover: 368 pages. Publisher: Springer Verlag; (January 14, 2003). ISBN 0-387-95554-2
• Fractional Calculus and the Taylor-Riemann Series, Rose-Hulman Undergrad. J. Math. Vol.6(1) (2005).
• Operator of fractional derivative in the complex plane, by Petr Zavada, Commun.Math.Phys.192, pp. 261–285,1998. DOI:10.1007/s002200050299 (available online^{[ölü/kırık bağlantı]} or as the arXiv preprint 5 Nisan 2018 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.)
• Relativistic wave equations with fractional derivatives and pseudodifferential operators, by Petr Zavada, Journal of Applied Mathematics, vol. 2, no. 4, pp. 163–197, 2002. DOI:10.1155/S1110757X02110102 (available online or as the arXiv preprint28 Ekim 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.)
• Fractional differentiation by neocortical pyramidal neurons, by Brian N Lundstrom, Matthew H Higgs, William J Spain & Adrienne L Fairhall, Nature Neuroscience, vol. 11 (11), pp. 1335 – 1342, 2008. DOI:10.1038/nn.2212 (abstract 19 Ağustos 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.)
• Equilibrium points, stability and numerical solutions of fractional-order predator-prey and rabies models, by Ahmed E., A.M.A. El-Sayed, H.A.A. El-Saka. 2007. Jour. Math. Anal. Appl. 325,452.
• Kober, Hermann (1940). "On fractional integrals and derivatives". The Quarterly Journal of Mathematics (Oxford Series). 11 (1). ss. 193-211. doi:10.1093/qmath/os-11.1.193. 
• Erdélyi, Arthur (1950–51). "On some functional transformations". Rendiconti del Seminario Matematico dell'Università e del Politecnico di Torino. Cilt 10. ss. 217-234. MR 0047818. 
• Recent history of fractional calculus by J.T. Machado, V. Kiryakova, F. Mainardi,

Dış bağlantılar

• Eric W. Weisstein. "Fractional Differential Equation." 27 Mart 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. From MathWorld — A Wolfram Web Resource.
• MathWorld - Fractional calculus 16 Eylül 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• MathWorld - Fractional derivative 12 Kasım 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Fractional Calculus at MathPages
• Specialized journal: Fractional Calculus and Applied Analysis 24 Şubat 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Specialized journal: Fractional Differential Equations (FDE)
• Specialized journal: Communications in Fractional Calculus (ISSN 2218-3892)
• www.nasatech.com 1 Aralık 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• unr.edu (Broken Link)
• Igor Podlubny's collection of related books, articles, links, software, etc. 13 Mayıs 2007 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• GigaHedron - Richard Herrmann's collection of books, articles, preprints, etc. 31 Ekim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• s.dugowson.free.fr 9 Ocak 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• History, Definitions, and Applications for the Engineer29 Ekim 2005 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (PDF), by Adam Loverro, University of Notre Dame
• Fractional Calculus Modelling 17 Nisan 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Introductory Notes on Fractional Calculus6 Ocak 2007 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Pseudodifferential operators and diffusive representation in modeling, control and signal
• Power Law & Fractional Dynamics
• The CRONE (R) Toolbox, a Matlab and Simulink Toolbox dedicated to fractional calculus, which is freely downloadable