Basel problemi

Basel problemi, Pietro Mengoli tarafından 1644'te ortaya atılan ve 1735 yılında Leonhard Euler tarafından çözülen ünlü bir sayı kuramı problemidir. Zamanın matematikçilerini bir hayli uğraştırmış olan problem Euler'i 28 yaşında büyük ün sahibi yapmıştır. Euler, problemi genelleştirmiş ve onun düşünceleri Bernhard Riemann'ın 1859'da yazdığı Belirli Bir Büyüklükten Küçük Asal Sayılar Üzerine adlı makaleye esin kaynağı olmuştur. Problem, adını Euler'in ve Bernoulli ailesinin yaşadığı kent olan Basel'den almıştır.

Basel problemi doğal sayıların karelerinin çarpmaya göre terslerinin kesin toplamını bulmaya çalışmaktadır. Bir başka deyişle, aranan toplam sonsuz dizi toplamıdır.

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = lim n → + ∞ ( 1 1 2 + 1 2 2 + ⋯ + 1 n 2 ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=\lim _{n\to +\infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)}

Dizi yaklaşık olarak 1.644934'e eşittir. Basel problemi bu dizinin kesin toplamını araştırmakta ve bu toplamın kanıtını aramaktadır. Euler, toplamı π 2 6 {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}} olarak hesaplamış ve bu sonucu 1735 yılında yayımlamıştır. Euler'in dizi üzerinde yaptığı oynamalar zamanın matematikçilerince kabul görmemiş ve Euler daha kesin sonuçlar veren kanıtını ancak 1741 yılında tamamlayabilmiştir.

Kaynakça

  • Weil, André (1983), Number Theory: An Approach Through History, Springer-Verlag, ISBN 0-8176-3141-0 .
  • Dunham, William (1999), Euler: The Master of Us All, Mathematical Association of America, ISBN 0-88385-328-0 .
  • Derbyshire, John (2003), Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics, Joseph Henry Press, ISBN 0-309-08549-7 .
  • Aigner, Martin; Ziegler, Günter M. (1998), Proofs from THE BOOK, Berlin, New York: Springer-Verlag 
  • Edwards, Harold M. (2001), Riemann's Zeta Function, Dover, ISBN 0-486-41740-9 .

Dış bağlantılar

  • Euler'in Basel problemine ilişkin çözümü (61.7 KiB)
  • Euler bunu nasıl başardı?13 Mayıs 2005 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (265 KiB)
  • Euler ve Bernoulli'nin dizileri bir kalkülüs sınıfını yerle bir etti (106 KiB)
  • Robin Chapman, ζ(2) hesaplamasında öne çıkan 14 nokta
Taslak simgesiMatematik ile ilgili bu madde taslak seviyesindedir. Madde içeriğini genişleterek Vikipedi'ye katkı sağlayabilirsiniz.