Hyperbolisk funktion

Sinh (röd), cosh (grön) och tanh (blå).
Koppling mellan hyperbler och de hyperboliska funktionerna. Varje punkt på högra delen av hyperbeln har koordinaten (cosh a, sinh a) där a är dubbla rödmarkerade arean i figuren.

Inom matematiken är de hyperboliska funktionerna nära besläktade med de trigonometriska funktionerna, vilket antyds av deras benämningar:

  • sinus hyperbolicus (sinh)
  • cosinus hyperbolicus (cosh)
  • tangens hyperbolicus (tanh)
  • secans hyperbolicus (sech)
  • cosecans hyperbolicus (csch)
  • cotangens hyperbolicus (coth)

sech och csch används sällan.

Definition

De hyperboliska funktionernas definitioner är

  • sinh ⁡ x = e x − e − x 2 {\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}
  • cosh ⁡ x = e x + e − x 2 {\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}
  • tanh ⁡ x = sinh ⁡ x cosh ⁡ x = e x − e − x e x + e − x {\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}}
  • sech ⁡ ( x ) = 1 cosh ⁡ x = 2 e x + e − x {\displaystyle \operatorname {sech} (x)={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}}
  • csch ⁡ ( x ) = 1 sinh ⁡ x = 2 e x − e − x {\displaystyle \operatorname {csch} (x)={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}}
  • coth ⁡ x = 1 tanh ⁡ x = e x + e − x e x − e − x {\displaystyle \coth x={\frac {1}{\tanh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}}

Vid jämförelse med Eulers formler, framgår att enligt definitionerna av cosh och cos är skillnaden att vinkeln är multiplicerad med komplexa enheten i; motsvarande gäller för sin och sinh:

  • cosh ⁡ ( x ) = cos ⁡ ( i x ) , cosh ⁡ ( i x ) = cos ⁡ ( x ) {\displaystyle \cosh(x)=\cos(ix),\qquad \cosh(ix)=\cos(x)}
  • sinh ⁡ ( x ) = − i sin ⁡ ( i x ) , sinh ⁡ ( i x ) = i sin ⁡ ( x ) {\displaystyle \sinh(x)=-i\sin(ix),\qquad \sinh(ix)=i\sin(x)}

och därmed kan de trigonometriska funktionerna – ur ett analytiskt perspektiv – betraktas som utvidgningar av de hyperboliska funktionerna till det komplexa talplanet. Ur ett geometriskt perspektiv är dock de trigonometriska funktionerna mer grundläggande och man kan då – ur denna synvinkel – betrakta de hyperboliska funktionerna som utvidgningar till det komplexa talplanet av trigonometriska funktioner.

Taylorserie

Utveckling av sinh och cosh i en taylorserie kan göras med hjälp av serieutvecklingar av exponentialfunktionen:

sinh ⁡ ( x ) = ∑ k = 0 ∞ x 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) ! cosh ⁡ ( x ) = ∑ k = 0 ∞ x 2 k ( 2 k ) ! {\displaystyle \sinh(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{2k+1}}{(2k+1)!}}\qquad \cosh(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}}

Identiteter

Motsvarigheten till trigonometriska ettan, kallad hyperboliska ettan:

cosh 2 ⁡ x − sinh 2 ⁡ x = 1 {\displaystyle \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1}

sinh är udda, cosh är jämn:

cosh ⁡ ( − x ) = cosh ⁡ x {\displaystyle \cosh(-x)=\cosh x}
sinh ⁡ ( − x ) = − sinh ⁡ x {\displaystyle \sinh(-x)=-\sinh x}

Summor:

sinh ⁡ ( x + y ) = sinh ⁡ ( x ) ⋅ cosh ⁡ ( y ) + cosh ⁡ ( x ) ⋅ sinh ⁡ ( y ) {\displaystyle \sinh {(x+y)}=\sinh {(x)}\cdot \cosh {(y)}+\cosh {(x)}\cdot \sinh {(y)}}
sinh ⁡ ( x − y ) = sinh ⁡ ( x ) ⋅ cosh ⁡ ( y ) − cosh ⁡ ( x ) ⋅ sinh ⁡ ( y ) {\displaystyle \sinh {(x-y)}=\sinh {(x)}\cdot \cosh {(y)}-\cosh {(x)}\cdot \sinh {(y)}}
cosh ⁡ ( x + y ) = cosh ⁡ ( x ) ⋅ cosh ⁡ ( y ) + sinh ⁡ ( x ) ⋅ sinh ⁡ ( y ) {\displaystyle \cosh {(x+y)}=\cosh {(x)}\cdot \cosh {(y)}+\sinh {(x)}\cdot \sinh {(y)}}
cosh ⁡ ( x − y ) = cosh ⁡ ( x ) ⋅ cosh ⁡ ( y ) − sinh ⁡ ( x ) ⋅ sinh ⁡ ( y ) {\displaystyle \cosh {(x-y)}=\cosh {(x)}\cdot \cosh {(y)}-\sinh {(x)}\cdot \sinh {(y)}}

Inversa funktioner

Huvudartikel: Arcus sinus hyperbolicus
Huvudartikel: Arcus tangens hyperbolicus

De hyperboliska funktionernas inverser benämns area hyperbolicus eller arcus hyperbolicus. Dock kan varje sådan invers-funktion skrivas med hjälp av logaritmer:

  • arcsinh ⁡ x = ln ⁡ ( x + x 2 + 1 ) {\displaystyle \operatorname {arcsinh} x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})}
  • arccosh ⁡ x = ln ⁡ ( x + x 2 − 1 ) {\displaystyle \operatorname {arccosh} x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}})}
  • arctanh ⁡ x = 1 2 ⋅ ln ⁡ ( 1 + x 1 − x ) {\displaystyle \operatorname {arctanh} x={\frac {1}{2}}\cdot \ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)}

Speciellt gäller att arcsinh är entydigt definierad för hela ℝ till skillnad från inverserna av de trigonometriska funktionerna där man undviker flertydighet genom att införa begreppet principalvärde.

Derivator

d d x sinh ⁡ ( x ) = cosh ⁡ ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sinh(x)=\cosh(x)\,}
d d x cosh ⁡ ( x ) = sinh ⁡ ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cosh(x)=\sinh(x)\,}
d d x tanh ⁡ ( x ) = 1 − tanh 2 ⁡ ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tanh(x)=1-\tanh ^{2}(x)\,}
d d x coth ⁡ ( x ) = 1 − coth 2 ⁡ ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\coth(x)=1-\coth ^{2}(x)\,}
d d x   csch(x) = − coth ⁡ ( x )   csch(x) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ {\hbox{csch(x)}}=-\coth(x)\ {\hbox{csch(x)}}\,}
d d x   sech(x) = − tanh ⁡ ( x )   sech(x) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ {\hbox{sech(x)}}=-\tanh(x)\ {\hbox{sech(x)}}\,}
d d x arcsinh ⁡ ( x ) = 1 x 2 + 1 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsinh} (x)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}}
d d x arccosh ⁡ ( x ) = 1 x 2 − 1 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arccosh} (x)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}
d d x arctanh ⁡ ( x ) = 1 1 − x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arctanh} (x)={\frac {1}{1-x^{2}}}}
d d x arccsch ⁡ ( x ) = − 1 | x | 1 + x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsch} (x)=-{\frac {1}{\left|x\right|{\sqrt {1+x^{2}}}}}}
d d x arcsech ⁡ ( x ) = − 1 x 1 − x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsech} (x)=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}}
d d x arccoth ⁡ ( x ) = 1 1 − x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arccoth} (x)={\frac {1}{1-x^{2}}}}

Se även

Externa länkar

  • Wikimedia Commons har media som rör Hyperbolisk funktion.
    Bilder & media
  • GonioLab: Visualisering av enhetscirkeln, trigonometriska och hyperboliska funktioner (Java Web Start)