Centralkraft

En centralkraft är inom klassisk mekanik en kraft vars storlek endast beror av det skalära avståndet från centrum till objektet samt är riktad radiellt från centrum: ^[1]

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=F(||\mathbf {r} ||)\,{\hat {\mathbf {r} }}}$

där F är en vektorvärd funktion, F är en skalär funktion för kraften, r är lägesvektorn, ||r|| dess längd och

${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}={\frac {\mathbf {r} }{||\mathbf {r} ||}}}$

är den motsvarande enhetsvektorn.

Då kraften enbart beror på avståndet till centrum uppvisar centralkraftsfältet en sfärisk symmetri.

Egenskaper

En centralkraft är alltid konservativ, det vill säga, den kan alltid skrivas som den negativa gradienten till en potentialfunktion:

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=-\mathbf {\nabla } V(\mathbf {r} )}$

där

${\displaystyle V(\mathbf {r} )=\int _{|\mathbf {r} |}^{+\infty }F(r)\,\mathrm {d} r}$

I ett konservativt fält är summan av kinetisk energi och potentiell energi bevarad:

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}m|\mathbf {\dot {r}} |^{2}+V(\mathbf {r} )={\text{konstant}}}$

där ṙ är derivatan av r med avseende på tid (är en hastighet) och rörelsemängdmomentet

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times m\mathbf {\dot {r}} ={\text{konstant}}}$

då vridmomentet som utövas av kraften är noll. Som en konsekvens rör sig kroppen i ett plan vinkelrätt mot rörelsemängdsmomentets vektor.

Genom att centralkraften är konservativ är centralkraftens fält virvelfritt, det vill säga

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} (\mathbf {r} )=\mathbf {0} }$

Gravitationen och coulombkraften är exempel på centralkrafter där F(r) är proportionell mot 1/r².

Se även

• Centrifugalkraft
• Centripetalkraft

Referenser