Inom matematiken är besselfunktionerna lösningarna till differentialekvationen
d 2 u d x 2 + 1 x d u d x + ( 1 − α 2 x 2 ) u = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}{\frac {du}{dx}}+\left(1-{\frac {\alpha ^{2}}{x^{2}}}\right)u=0} Denna ekvation uppkommer när man tittar på den radiella delen av Laplaces ekvation i cylindriska koordinater .
Definition Besselfunktioner av första slaget, Jα (x )α = 0, 1, 2 Besselfunktionerna av första slaget definieras av:
J α ( x ) = ∑ m = 0 ∞ ( − 1 ) m m ! Γ ( m + α + 1 ) ( x 2 ) 2 m + α {\displaystyle J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha }} Om n {\displaystyle n}
J n ( x ) = 1 2 π ∫ 0 2 π cos ( n t − x sin t ) d t {\displaystyle J_{n}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\cos(nt-x\sin t)dt} En integral för alla värden på α är
J α ( x ) = 1 π ∫ 0 π cos ( α τ − x sin τ ) d τ − sin ( α π ) π ∫ 0 ∞ e − x sinh ( t ) − α t d t . {\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(\alpha \tau -x\sin \tau )\,d\tau -{\frac {\sin(\alpha \pi )}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-x\sinh(t)-\alpha t}\,dt.} Besselfunktioner av det andra slaget, Yα (x ), för heltalsordningarna α = 0, 1, 2 Differentialekvationen har två linjärt oberoende lösningar och därför behövs även Besselfunktioner av andra slaget :
Y α ( x ) = J α ( x ) cos ( α π ) − J − α ( x ) sin ( α π ) {\displaystyle Y_{\alpha }(x)={\frac {J_{\alpha }(x)\cos(\alpha \pi )-J_{-\alpha }(x)}{\sin(\alpha \pi )}}} Y α ( x ) {\displaystyle Y_{\alpha }(x)} x → 0 {\displaystyle x\to 0} n måste Besselfunkttionen av andra slaget definieras som gränsvärdet
Y n ( x ) = lim ν → n Y ν ( x ) {\displaystyle Y_{n}(x)=\lim _{\nu \to n}Y_{\nu }(x)} Gränsvärdet ges av uttrycket
Y n ( x ) = 2 π ( γ + ln x 2 ) J n ( x ) − 1 π ∑ k = 0 n − 1 ( n − k − 1 ) ! k ! ( x 2 ) 2 k − n − 1 π ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k H k + H k + n k ! ( n + k ) ! ( x 2 ) 2 k + n {\displaystyle {\begin{aligned}Y_{n}(x)=\,&{\frac {2}{\pi }}\left(\gamma +\ln {\frac {x}{2}}\right)J_{n}(x)-{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(n-k-1)!}{k!}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2k-n}\\&{}-{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {H_{k}+H_{k+n}}{k!(n+k)!}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2k+n}\end{aligned}}} där γ {\displaystyle \gamma } H n {\displaystyle H_{n}} n :te harmoniska talet.
En integralrepresentation för Re(x ) > 0 är
Y n ( x ) = 1 π ∫ 0 π sin ( x sin θ − n θ ) d θ − 1 π ∫ 0 ∞ [ e n t + ( − 1 ) n e − n t ] e − x sinh t d t . {\displaystyle Y_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(x\sin \theta -n\theta )\,d\theta -{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[e^{nt}+(-1)^{n}e^{-nt}\right]e^{-x\sinh t}\,dt.} Bilder & media
Sfäriska Besselfuntioner I samband med Laplaces ekvation i sfäriska koordinater uppkommer en liknande ekvation för den radiella delen:
d 2 u d x 2 + 2 x d u d x + ( 1 − n ( n + 1 ) x 2 ) u = 0. {\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {2}{x}}{\frac {du}{dx}}+\left(1-{\frac {n(n+1)}{x^{2}}}\right)u=0.} Denna har de sfäriska Besselfunktionerna som lösningar.
j n ( x ) = π 2 x J n + 1 / 2 ( x ) , {\displaystyle j_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+1/2}(x),} y n ( x ) = π 2 x Y n + 1 / 2 ( x ) = ( − 1 ) n + 1 π 2 x J − n − 1 / 2 ( x ) . {\displaystyle y_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}Y_{n+1/2}(x)=(-1)^{n+1}{\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{-n-1/2}(x).} Se vidare Klotytefunktion.
Hankelfunktioner En annan viktig formulering av två linjärt oberoende lösningar på Bessels ekvation är Hankelfunktionerna H α (1) (x ) och H α (2) (x ) som definieras som
H α ( 1 ) ( x ) = J α ( x ) + i Y α ( x ) {\displaystyle H_{\alpha }^{(1)}(x)=J_{\alpha }(x)+iY_{\alpha }(x)} H α ( 2 ) ( x ) = J α ( x ) − i Y α ( x ) {\displaystyle H_{\alpha }^{(2)}(x)=J_{\alpha }(x)-iY_{\alpha }(x)} där i är imaginära enheten . De är även kända som Besselfunktioner av tredje slaget . De är uppkallade efter Hermann Hankel.
Hankelfunktionerna kan uttryckas som
H α ( 1 ) ( x ) = J − α ( x ) − e − α π i J α ( x ) i sin ( α π ) {\displaystyle H_{\alpha }^{(1)}(x)={\frac {J_{-\alpha }(x)-e^{-\alpha \pi i}J_{\alpha }(x)}{i\sin(\alpha \pi )}}} H α ( 2 ) ( x ) = J − α ( x ) − e α π i J α ( x ) − i sin ( α π ) . {\displaystyle H_{\alpha }^{(2)}(x)={\frac {J_{-\alpha }(x)-e^{\alpha \pi i}J_{\alpha }(x)}{-i\sin(\alpha \pi )}}.} Om α är ett heltal måste gränsvädet räknas. Oberoende om α är ett heltal eller inte gäller följande relationer:
H − α ( 1 ) ( x ) = e α π i H α ( 1 ) ( x ) {\displaystyle H_{-\alpha }^{(1)}(x)=e^{\alpha \pi i}H_{\alpha }^{(1)}(x)} H − α ( 2 ) ( x ) = e − α π i H α ( 2 ) ( x ) . {\displaystyle H_{-\alpha }^{(2)}(x)=e^{-\alpha \pi i}H_{\alpha }^{(2)}(x).} Modifierade Besselfunktioner Ett viktigt specialfall av Besselfunktionerna är set då argumentet är rent imaginärt. I det fallet kallas funktionerna för modifierade Besselfunktioner (eller ibland för hyperboliska Besselfunktioner ) av första och andra slaget , och definieras som
I α ( x ) = i − α J α ( i x ) = ∑ m = 0 ∞ 1 m ! Γ ( m + α + 1 ) ( x 2 ) 2 m + α {\displaystyle I_{\alpha }(x)=i^{-\alpha }J_{\alpha }(ix)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!\Gamma (m+\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2m+\alpha }} K α ( x ) = π 2 I − α ( x ) − I α ( x ) sin ( α π ) {\displaystyle K_{\alpha }(x)={\frac {\pi }{2}}{\frac {I_{-\alpha }(x)-I_{\alpha }(x)}{\sin(\alpha \pi )}}} De är reellvärda för positiva reella argument x .
Om −π < arg(x ) ≤ π/ är
K α ( x ) = π 2 i α + 1 H α ( 1 ) ( i x ) {\displaystyle K_{\alpha }(x)={\frac {\pi }{2}}i^{\alpha +1}H_{\alpha }^{(1)}(ix)} och om −π/2 < arg(x ) ≤ π är
K α ( x ) = π 2 ( − i ) α + 1 H α ( 2 ) ( − i x ) {\displaystyle K_{\alpha }(x)={\frac {\pi }{2}}(-i)^{\alpha +1}H_{\alpha }^{(2)}(-ix)} För −π < arg(z ) ≤ π/2 är
J α ( i z ) = e α i π 2 I α ( z ) Y α ( i z ) = e ( α + 1 ) i π 2 I α ( z ) − 2 π e − α i π 2 K α ( z ) {\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(iz)&=e^{\frac {\alpha i\pi }{2}}I_{\alpha }(z)\\Y_{\alpha }(iz)&=e^{\frac {(\alpha +1)i\pi }{2}}I_{\alpha }(z)-{\frac {2}{\pi }}e^{-{\frac {\alpha i\pi }{2}}}K_{\alpha }(z)\end{aligned}}} I α (x ) och K α (x ) är två linjärt oberoende lösningar av modifierade Besselekvationen
x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x − ( x 2 + α 2 ) y = 0. {\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}-(x^{2}+\alpha ^{2})y=0.} Två integralformler för Re(x ) > 0 är
I α ( x ) = 1 π ∫ 0 π exp ( x cos ( θ ) ) cos ( α θ ) d θ − sin ( α π ) π ∫ 0 ∞ exp ( − x cosh t − α t ) d t {\displaystyle I_{\alpha }(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\exp(x\cos(\theta ))\cos(\alpha \theta )\,d\theta -{\frac {\sin(\alpha \pi )}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\exp(-x\cosh t-\alpha t)\,dt} K α ( x ) = ∫ 0 ∞ exp ( − x cosh t ) cosh ( α t ) d t . {\displaystyle K_{\alpha }(x)=\int _{0}^{\infty }\exp(-x\cosh t)\cosh(\alpha t)\,dt.} Modifierade Besselfunktionerna K 1/3 and K 2/3 kan skrivas som de snabbt konvergerande integralerna
K 1 3 ( ξ ) = 3 ∫ 0 ∞ exp [ − ξ ( 1 + 4 x 2 3 ) 1 + x 2 3 ] d x K 2 3 ( ξ ) = 1 3 ∫ 0 ∞ 3 + 2 x 2 1 + x 2 3 exp [ − ξ ( 1 + 4 x 2 3 ) 1 + x 2 3 ] d x {\displaystyle {\begin{aligned}K_{\frac {1}{3}}(\xi )&={\sqrt {3}}\,\int _{0}^{\infty }\,\exp \left[-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}}\right){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}\,\right]\,dx\\K_{\frac {2}{3}}(\xi )&={\frac {1}{\sqrt {3}}}\,\int _{0}^{\infty }\,{\frac {3+2x^{2}}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}}\exp \left[-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}}\right){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}\,\right]\,dx\end{aligned}}} Modifierade Besselfunktionerna av andra slaget har även kallats för:
Bassetfunktioner efter Alfred Barnard BassetModifierade Besselfunktioner av tredje slaget Modifierade Hankelfunktioner Macdonaldfunktioner efter Hector Munro MacdonaldWeberfunktionwe Neumannfunktioner Riccati-Besselfunktioner Riccati-Besselfunktionerna definieras som
S n ( x ) = x j n ( x ) = π x 2 J n + 1 2 ( x ) {\displaystyle S_{n}(x)=xj_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}\,J_{n+{\frac {1}{2}}}(x)} C n ( x ) = − x y n ( x ) = − π x 2 Y n + 1 2 ( x ) {\displaystyle C_{n}(x)=-xy_{n}(x)=-{\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}\,Y_{n+{\frac {1}{2}}}(x)} ξ n ( x ) = x h n ( 1 ) ( x ) = π x 2 H n + 1 2 ( 1 ) ( x ) = S n ( x ) − i C n ( x ) {\displaystyle \xi _{n}(x)=xh_{n}^{(1)}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}\,H_{n+{\frac {1}{2}}}^{(1)}(x)=S_{n}(x)-iC_{n}(x)} ζ n ( x ) = x h n ( 2 ) ( x ) = π x 2 H n + 1 2 ( 2 ) ( x ) = S n ( x ) + i C n ( x ) . {\displaystyle \zeta _{n}(x)=xh_{n}^{(2)}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}\,H_{n+{\frac {1}{2}}}^{(2)}(x)=S_{n}(x)+iC_{n}(x).} De satisfierar differentialekvationen
x 2 d 2 y d x 2 + [ x 2 − n ( n + 1 ) ] y = 0. {\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+[x^{2}-n(n+1)]y=0.} Multiplikationsteorem Besselfunktionerna satisfierar multiplikationsteoremet
λ − ν J ν ( λ z ) = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! ( ( 1 − λ 2 ) z 2 ) n J ν + n ( z ) {\displaystyle \lambda ^{-\nu }J_{\nu }(\lambda z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left({\frac {(1-\lambda ^{2})z}{2}}\right)^{n}J_{\nu +n}(z)} där λ och ν är godtyckliga kompexa tal. Den analoga formeln för modifierade Besselfunktioner är
λ − ν I ν ( λ z ) = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! ( ( λ 2 − 1 ) z 2 ) n I ν + n ( z ) {\displaystyle \lambda ^{-\nu }I_{\nu }(\lambda z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left({\frac {(\lambda ^{2}-1)z}{2}}\right)^{n}I_{\nu +n}(z)} och
λ − ν K ν ( λ z ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n n ! ( ( λ 2 − 1 ) z 2 ) n K ν + n ( z ) . {\displaystyle \lambda ^{-\nu }K_{\nu }(\lambda z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\left({\frac {(\lambda ^{2}-1)z}{2}}\right)^{n}K_{\nu +n}(z).} Egenskaper Besselfunktionerna satisfierar de användbara rekursionerna
J n + 1 ( x ) = 2 n x J n ( x ) − J n − 1 ( x ) {\displaystyle J_{n+1}(x)={\frac {2n}{x}}J_{n}(x)-J_{n-1}(x)} J n ′ ( x ) = 1 2 ( J n − 1 ( x ) − J n + 1 ( x ) ) {\displaystyle J_{n}'(x)={\frac {1}{2}}(J_{n-1}(x)-J_{n+1}(x))} x J n ′ ( x ) = n J n ( x ) − x J n + 1 ( x ) {\displaystyle xJ_{n}'(x)=nJ_{n}(x)-xJ_{n+1}(x)\,} ( x n J n ( x ) ) ′ = x n J n − 1 ( x ) {\displaystyle (x^{n}J_{n}(x))'=x^{n}J_{n-1}(x)\,} ( x − n J n ( x ) ) ′ = − x − n J n + 1 ( x ) {\displaystyle (x^{-n}J_{n}(x))'=-x^{-n}J_{n+1}(x)\,} För heltal α = n kan J n
e ( x 2 ) ( t − 1 / t ) = ∑ n = − ∞ ∞ J n ( x ) t n . {\displaystyle e^{({\frac {x}{2}})(t-1/t)}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(x)t^{n}.\!} Andra liknande relationer för heltal n är
e i z cos ( ϕ ) = ∑ n = − ∞ ∞ i n J n ( z ) e i n ϕ , {\displaystyle e^{iz\cos(\phi )}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }i^{n}J_{n}(z)e^{in\phi },\!} och
e i z sin ( ϕ ) = ∑ n = − ∞ ∞ J n ( z ) e i n ϕ . {\displaystyle e^{iz\sin(\phi )}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(z)e^{in\phi }.\!} För ν > −1/2 och z ∈ C kan Besselfunktionerna definieras som integralerna
J ν ( z ) = ( z 2 ) ν Γ ( ν + 1 2 ) π ∫ − 1 1 e i z s ( 1 − s 2 ) ν − 1 2 d s = 2 ( z 2 ) ν ⋅ π ⋅ Γ ( 1 2 − ν ) ∫ 1 ∞ sin ( z u ) ( u 2 − 1 ) ν + 1 2 d u . {\displaystyle {\begin{aligned}J_{\nu }(z)&={\frac {({\frac {z}{2}})^{\nu }}{\Gamma (\nu +{\frac {1}{2}}){\sqrt {\pi }}}}\int _{-1}^{1}e^{izs}(1-s^{2})^{\nu -{\frac {1}{2}}}\,ds\\&={\frac {2}{{\left({\frac {z}{2}}\right)}^{\nu }\cdot {\sqrt {\pi }}\cdot \Gamma \left({\frac {1}{2}}-\nu \right)}}\int _{1}^{\infty }{\frac {\sin(zu)}{(u^{2}-1)^{\nu +{\frac {1}{2}}}}}\,du.\end{aligned}}} Besselfunktionerna satisfierar ortogonalitetsrelationen
∫ 0 ∞ J α ( z ) J β ( z ) d z z = 2 π sin ( π 2 ( α − β ) ) α 2 − β 2 . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }J_{\alpha }(z)J_{\beta }(z){\frac {dz}{z}}={\frac {2}{\pi }}{\frac {\sin \left({\frac {\pi }{2}}(\alpha -\beta )\right)}{\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}.} En annan integral är
∫ 0 ∞ e − a t J n ( b t ) d t = b n a 2 + b 2 ( a 2 + b 2 + a ) n . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-at}J_{n}(bt)\mathrm {d} t={\frac {b^{n}}{{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}({\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a)^{n}}}.} Relation till andra funktioner Besselfunktionerna är relaterade till generaliserade hypergeometriska serier enligt
J α ( x ) = ( x 2 ) α Γ ( α + 1 ) 0 F 1 ( α + 1 ; − x 2 4 ) . {\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {({\frac {x}{2}})^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}\;_{0}F_{1}(\alpha +1;-{\tfrac {x^{2}}{4}}).} Besselfunktionerna är även relaterade till Laguerrepolynomen enligt
J α ( x ) ( x 2 ) α = e − t Γ ( α + 1 ) ∑ k = 0 ∞ L k ( α ) ( x 2 4 t ) ( k + α k ) t k k ! {\displaystyle {\frac {J_{\alpha }(x)}{\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}}={\frac {e^{-t}}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {L_{k}^{(\alpha )}\left({\frac {x^{2}}{4t}}\right)}{k+\alpha \choose k}}{\frac {t^{k}}{k!}}} där t är ett godtyckligt tal.
Identiteter K 1 2 ( z ) = π 2 e − z z − 1 2 , z > 0 ; {\displaystyle K_{\frac {1}{2}}(z)={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\mathrm {e} ^{-z}z^{-{\tfrac {1}{2}}},\,z>0;} I − 1 2 ( z ) = 2 π z cosh ( z ) ; {\displaystyle I_{-{\frac {1}{2}}}(z)={\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\cosh(z);} I 1 2 ( z ) = 2 π z sinh ( z ) ; {\displaystyle I_{\frac {1}{2}}\left(z\right)={\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\sinh(z);} I ν ( z ) = ∑ k = 0 z k k ! J ν + k ( z ) ; {\displaystyle I_{\nu }(z)=\sum _{k=0}{\frac {z^{k}}{k!}}J_{\nu +k}(z);} J ν ( z ) = ∑ k = 0 ( − 1 ) k z k k ! I ν + k ( z ) ; {\displaystyle J_{\nu }(z)=\sum _{k=0}(-1)^{k}{\frac {z^{k}}{k!}}I_{\nu +k}(z);} I ν ( λ z ) = λ ν ∑ k = 0 ( ( λ 2 − 1 ) z 2 ) k k ! I ν + k ( z ) ; {\displaystyle I_{\nu }(\lambda z)=\lambda ^{\nu }\sum _{k=0}{\frac {\left((\lambda ^{2}-1){\frac {z}{2}}\right)^{k}}{k!}}I_{\nu +k}(z);} I ν ( z 1 + z 2 ) = ∑ k = − ∞ ∞ I ν − k ( z 1 ) I k ( z 2 ) {\displaystyle I_{\nu }(z_{1}+z_{2})=\sum _{k=-\infty }^{\infty }I_{\nu -k}(z_{1})I_{k}(z_{2})} J ν ( z 1 ± z 2 ) = ∑ k = − ∞ ∞ J ν ∓ k ( z 1 ) J k ( z 2 ) ; {\displaystyle J_{\nu }(z_{1}\pm z_{2})=\sum _{k=-\infty }^{\infty }J_{\nu \mp k}(z_{1})J_{k}(z_{2});} I ν ( z ) = z 2 ν ( I ν − 1 ( z ) − I ν + 1 ( z ) ) ; {\displaystyle I_{\nu }(z)={\frac {z}{2\nu }}(I_{\nu -1}(z)-I_{\nu +1}(z));} J ν ( z ) = z 2 ν ( J ν − 1 ( z ) + J ν + 1 ( z ) ) ; {\displaystyle J_{\nu }(z)={\frac {z}{2\nu }}(J_{\nu -1}(z)+J_{\nu +1}(z));} J ν ′ ( z ) = J ν − 1 ( z ) − J ν + 1 ( z ) 2 ( ν ≠ 0 ) , J 0 ′ ( z ) = − J 1 ( z ) ; {\displaystyle J_{\nu }'(z)={\frac {J_{\nu -1}(z)-J_{\nu +1}(z)}{2}}\quad (\nu \neq 0),\quad J_{0}'(z)=-J_{1}(z);} I ν ′ ( z ) = I ν − 1 ( z ) + I ν + 1 ( z ) 2 , I 0 ′ ( z ) = I 1 ( z ) ; {\displaystyle I_{\nu }'(z)={\frac {I_{\nu -1}(z)+I_{\nu +1}(z)}{2}},\quad I_{0}'(z)=I_{1}(z);} ( 1 2 z ) ν = Γ ( ν ) ⋅ ∑ k = 0 I ν + 2 k ( z ) ( ν + 2 k ) ( − ν k ) = Γ ( ν ) ⋅ ∑ k = 0 ( − 1 ) k J ν + 2 k ( z ) ( ν + 2 k ) ( − ν k ) {\displaystyle \left({\tfrac {1}{2}}z\right)^{\nu }=\Gamma (\nu )\cdot \sum _{k=0}I_{\nu +2k}(z)(\nu +2k){-\nu \choose k}=\Gamma (\nu )\cdot \sum _{k=0}(-1)^{k}J_{\nu +2k}(z)(\nu +2k){-\nu \choose k}} = Γ ( ν + 1 ) ⋅ ∑ k = 0 1 k ! ( 1 2 z ) k J ν + k ( z ) . {\displaystyle =\Gamma (\nu +1)\cdot \sum _{k=0}{\frac {1}{k!}}\left({\tfrac {1}{2}}z\right)^{k}J_{\nu +k}(z).} Se även Externa länkar Speciella funktioner Gamma- och relaterade funktioner Zeta- och L -funktioner Besselfunktioner och relaterade funktioner Elliptiska funktioner och thetafunktioner Hypergeometriska funktioner Ortogonala polynom Andra funktioner
![{\displaystyle Y_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(x\sin \theta -n\theta )\,d\theta -{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[e^{nt}+(-1)^{n}e^{-nt}\right]e^{-x\sinh t}\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6322449b5037ec54059796d16200f566eefd9cec)
Wikimedia Commons har media som rör Drum vibration animations.Bilder & media
![{\displaystyle {\begin{aligned}K_{\frac {1}{3}}(\xi )&={\sqrt {3}}\,\int _{0}^{\infty }\,\exp \left[-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}}\right){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}\,\right]\,dx\\K_{\frac {2}{3}}(\xi )&={\frac {1}{\sqrt {3}}}\,\int _{0}^{\infty }\,{\frac {3+2x^{2}}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}}\exp \left[-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}}\right){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}\,\right]\,dx\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4cc5f6e4b823242e68c4eb0900431a4057058fa)
![{\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+[x^{2}-n(n+1)]y=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88752e79d3852da5280c43cfaa7c5bd9481680bd)
