Vektorska analiza

Vektorska analiza je grana matematike koja proučava diferencijalni i integralni račun nad vektorskim poljima.

Najveću primjenu u matematici nalazi u diferencijalnoj geometriji i parcijalnim diferencijalnim jednadžbama, a od ostalih grana znanosti, najviše se koristi u fizici, posebno u elektrodinamici, mehanici fluida, gravitaciji i sl.

Ponekad se pojam vektorska analiza koristi kao sinonim za funkcije više varijabli, što nije ispravna bijekcija.

Vektorski operatori

Vektorska analiza koristi nekoliko temeljnih operatora, i proučava djelovanje tih operatora na funkcije, vektorska polja i sl.

Sve se te operacije mogu prikazati preko Hamiltonova operatora ∇ {\displaystyle \nabla } , što se izgovara kao [nabla]. U kartezijevu sustavu je definiran kao

∇ ≡ x ^ ∂ ∂ x + y ^ ∂ ∂ y + z ^ ∂ ∂ z , {\displaystyle \nabla \equiv {\hat {\mathbf {x} }}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\hat {\mathbf {y} }}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\hat {\mathbf {z} }}{\frac {\partial }{\partial z}},}

a definicija operatora ∇ {\displaystyle \nabla } u zakrivljenim koordinatama malo je složenija.

Najjednostavnije operacije su:

Operacija Notacija
Gradijent grad ⁡ ( f ) = ∇ f {\displaystyle \operatorname {grad} (f)=\nabla f}
Rotacija rot ⁡ ( F ) = ∇ × F {\displaystyle \operatorname {rot} (\mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {F} }
Divergencija div ⁡ ( F ) = ∇ ⋅ F {\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {F} )=\nabla \cdot \mathbf {F} }
Laplasijan Δ f = ∇ 2 f = ∇ ⋅ ∇ f {\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f}

Najpoznatiji teoremi

U vektorskoj analizi postoje četiri najbitnija teorema:

Naziv Izjava
Poopćena Newton-Leibnizova formula φ ( q ) − φ ( p ) = ∫ L ∇ φ ⋅ d r . {\displaystyle \varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)=\int _{L}\nabla \varphi \cdot d\mathbf {r} .}
Greenov teorem ∫ C ( L d x + M d y ) = ∬ D ( ∂ M ∂ x − ∂ L ∂ y ) d A {\displaystyle \int _{C}\left(L\,dx+M\,dy\right)=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA}
Stokesov teorem ∫ Σ ∇ × F ⋅ d Σ = ∮ ∂ Σ F ⋅ d r , {\displaystyle \int _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {F} \cdot d\mathbf {\Sigma } =\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} ,}
Gaussov teorem ∭ V ( ∇ ⋅ F ) d V = ∬ ∂ V F ⋅ d S , {\displaystyle \iiint \limits _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dV=\iint \limits _{\partial V}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S} ,}

Vezani pojmovi

  • Vektorsko polje
  • Tok polja
  • Divergencija
  • Rotacija
  • Gradijent
  • Vektorske operacije u zakrivljenim koordinatama