Trisectoarea lui Maclaurin

Trisectoarea lui Maclaurin ca loc geometric al intersecției a două drepte care se rotesc

În geometria algebrică trisectoarea lui Maclaurin este o curbă plană cubică notabilă pentru proprietatea sa de a diviza în trei, ceea ce înseamnă că poate fi folosită pentru trisecțiunea unui unghi.[1] Poate fi definită ca locul geometric al punctului de intersecție a două drepte⁠(d), fiecare rotindu-se cu o viteză unghiulară uniformă în jurul punctelor lor fixe, separate, astfel încât raportul vitezelor de rotație să fie 1:3 iar dreptele coincid inițial cu dreapta care trece prin cele două puncte.[2] O generalizare a acestei construcții se numește curbă divizoare a lui Maclaurin. Curba poartă numele lui Colin Maclaurin care a studiat curba în 1742.[3][4]

Ecuații

Fie două drepte care se rotesc în jurul punctelor P = ( 0 , 0 ) {\displaystyle P=(0,0)} și P 1 = ( a , 0 ) {\displaystyle P_{1}=(a,0)} astfel încât, atunci când dreapta care se rotește în jurul punctului său fix P {\displaystyle P} formează cu axa Ox unghiul θ {\displaystyle \theta } , iar dreapta care se rotește în jurul punctului său fix P 1 {\displaystyle P_{1}} formează cu axa Ox unghiul 3 θ {\displaystyle 3\theta } . Dacă Q este punctul de intersecție al dreptelor, atunci unghiul format de drepte în Q este 2 θ {\displaystyle 2\theta } . Din teorema sinusurilor,

r sin ⁡ 3 θ = a sin ⁡ 2 θ {\displaystyle {r \over \sin 3\theta }={a \over \sin 2\theta }}

rezultă ecuația în coordonate polare, care este (fără ca axele să fie translate sau rotite)

r = a sin ⁡ 3 θ sin ⁡ 2 θ = a 2 4 cos 2 ⁡ θ − 1 cos ⁡ θ = a 2 ( 4 cos ⁡ θ − sec ⁡ θ ) {\displaystyle r=a{\frac {\sin 3\theta }{\sin 2\theta }}={a \over 2}{\frac {4\cos ^{2}\theta -1}{\cos \theta }}={a \over 2}(4\cos \theta -\sec \theta )} .

Prin urmare, curba este un membru al familiei de concoide ale lui de Sluze.

În coordonate carteziene ecuația acestei curbe este[4]

2 x ( x 2 + y 2 ) = a ( 3 x 2 − y 2 ) {\displaystyle 2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2})} .

Dacă originea este mutată în (a, 0), atunci un raționament similar cu cel de mai sus arată că ecuația curbei în coordonate polare devine

r = 2 a cos ⁡ θ 3 , {\displaystyle r=2a\cos {\theta \over 3},}

fiind un exemplu de „melc” cu o buclă.

Proprietatea de a fi o trisectoare

Trisectoarea lui Maclaurin demonstrând proprietatea de a trisecta unghiurile

Din punctul ( a , 0 ) {\displaystyle (a,0)} se trasează o dreaptă care formează cu axa Ox unghiul ϕ {\displaystyle \phi } . Din origine se trasează o dreaptă prin punctul unde dreapta precedentă intersectează curba. Atunci, prin construcția curbei, unghiul dintre a doua dreaptă și axa Ox este ϕ / 3 {\displaystyle \phi /3} .[2]

Puncte și caracteristici notabile

Curba are o intersecție cu axa Ox în 3 a 2 {\displaystyle 3a \over 2} și un punct dublu în origine. Dreapta verticală x = − a 2 {\displaystyle x={-{a \over 2}}} este o asimptotă. Curba intersectează dreapta x = a sau punctul corespunzător trisecțiunii unui unghi drept, în ( a , ± 1 3 a ) {\displaystyle (a,{\pm {1 \over {\sqrt {3}}}a})} . Ca o cubică nodală, este de genul zero.

Relația cu alte curbe

Trisectoarea lui Maclaurin poate fi definită cu ajutorul conicelor în trei moduri.

  • Este inversa față de cercul unitate al hiperbolei
2 x = a ( 3 x 2 − y 2 ) {\displaystyle 2x=a(3x^{2}-y^{2})} .
  • Este cisoida cercului
( x + a ) 2 + y 2 = a 2 {\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}}
și a dreptei x = a 2 {\displaystyle x={a \over 2}} față de origine.
y 2 = 2 a ( x − 3 2 a ) {\displaystyle y^{2}=2a(x-{\tfrac {3}{2}}a)} .

În plus:

Note

  1. ^ en J. Dennis Lawrence (). A catalog of special plane curvesNecesită înregistrare gratuită. Dover Publications. pp. 36,95,104–106. ISBN 0-486-60288-5. 
  2. ^ a b en Maclaurin Trisectrix at mathcurve.com
  3. ^ a b en Eric W. Weisstein, Maclaurin Trisectrix la MathWorld.
  4. ^ a b c en "Trisectrix of Maclaurin" at MacTutor's Famous Curves Index

Legături externe

Portal icon Portal Matematică
  • Materiale media legate de trisectoarea lui Maclaurin la Wikimedia Commons
  • en Loy, Jim "Trisection of an Angle", Part VI