Teorema lui Stewart

În geometrie, Teorema lui Stewart furnizează o relație între lungimile laturilor unui triunghi și lungimea segmentului ceviană dintr-un vârf la un punct de pe latura opusă.

Fie a, b și c laturile unui triunghi. Fie p un segment din punctul A în punctul P de pe latura a care divide această latură în segmentele x and y. Atunci:

a ( p 2 + x y ) = b 2 x + c 2 y . {\displaystyle a(p^{2}+xy)=b^{2}x+c^{2}y.\,}
Reprezentare grafică

Demonstrație

Fie P punctul în care latura a și segmentul p se intersectează. Prin aplicarea teoremei cosinusului pentru unghiurile suplementare APB și APC se obțin egalitățile:

b 2 = p 2 + y 2 − 2 p y cos ⁡ θ {\displaystyle b^{2}=p^{2}+y^{2}-2py\cos {\theta }\,}
c 2 = p 2 + x 2 + 2 p x cos ⁡ θ {\displaystyle c^{2}=p^{2}+x^{2}+2px\cos {\theta }\,}

Înmulțind prima relație cu x, iar a doua cu y  rezultă:

x b 2 = x p 2 + x y 2 − 2 p x y cos ⁡ θ {\displaystyle xb^{2}=xp^{2}+xy^{2}-2pxy\cos {\theta }\,}
y c 2 = y p 2 + y x 2 + 2 p x y cos ⁡ θ {\displaystyle yc^{2}=yp^{2}+yx^{2}+2pxy\cos {\theta }\,}

Apoi adunând cele două ecuații:

x b 2 + y c 2 = ( x + y ) p 2 + x y ( x + y ) , {\displaystyle xb^{2}+yc^{2}=(x+y)p^{2}+xy(x+y),\,}

se obține teorema lui Stewart.

Forma vectorială

Dacă M este un punct pe latura BC a triunghiului ABC, atunci:

A M → 2 ⋅ B C → + A B → 2 ⋅ C M → + B C → ⋅ C M → ⋅ M B → = 0 {\displaystyle {\overrightarrow {AM}}^{2}\cdot {\overrightarrow {BC}}+{\overrightarrow {AB}}^{2}\cdot {\overrightarrow {CM}}+{\overrightarrow {BC}}\cdot {\overrightarrow {CM}}\cdot {\overrightarrow {MB}}=0}

sau altă formă:

M A 2 = M C → B C → ⋅ A B 2 + M B → C B → ⋅ A C 2 + M B → ⋅ M C → . {\displaystyle MA^{2}={\frac {\overrightarrow {MC}}{\overrightarrow {BC}}}\cdot AB^{2}+{\frac {\overrightarrow {MB}}{\overrightarrow {CB}}}\cdot AC^{2}+{\overrightarrow {MB}}\cdot {\overrightarrow {MC}}.}

O altă formă simetrică este următoarea:

Dacă punctele A, B, C sunt coliniare, iar P un punct oarecare, atunci:

P A 2 A B → ⋅ A C → + P B 2 B A → ⋅ B C → + P C 2 C A → ⋅ C B → = 1. {\displaystyle {\frac {PA^{2}}{{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}}}+{\frac {PB^{2}}{{\overrightarrow {BA}}\cdot {\overrightarrow {BC}}}}+{\frac {PC^{2}}{{\overrightarrow {CA}}\cdot {\overrightarrow {CB}}}}=1.}

Vezi și

  • Teorema lui Apollonius

Legături externe

  • en Teorema lui Stewart la PlanetMath Arhivat în , la Wayback Machine.
  • en Demonstrația teoremei la PlanetMath Arhivat în , la Wayback Machine.
Portal icon Portal matematică
  • en Teorema lui Stewart la Wolfram MathWorld
  • en Teorema lui Stewart ca un corolar al Teoremei lui Pitagora