Teorema de Dirichlet sobre progressões aritméticas

O teorema de Dirichlet sobre progressões aritméticas é um resultado da teoria analítica dos números demonstrado pelo matemático Johann Dirichlet.

Este teorema sobre a distribuição dos números primos em ${\displaystyle \mathbb {N} }$, foi conjecturado por Gauss e finalmente demonstrado em 1837 por Dirichlet, nome pelo qual é atualmente conhecido.

O primeiro teorema de convergência de séries de Fourier, devido a Dirichlet, apareceu em 1829 e se refere à funções monótonas em trechos. Por ele começamos primeiro com uns comentários sobre estas funções. Uma função monótona e cotada em um intervalo [a, b] é integrável e tem limites laterais finitos em cada ponto. Se estes limites não coincidem a função terá uma descontinuidade com um salto finito. A soma dos saltos não pode ser maior que a diferença dos valores da função nos extremos do intervalo, de modo que o conjunto de descontinuidades com salto maior que 1/n é finito e, portanto, o conjunto de descontinuidades é no máximo numerável. As mesmas propriedades serão certas para uma função monótona em trechos, ou seja, aquela que é monótona em uma quantidade finita de intervalos que unidos dão o intervalo original.

Enunciado

Seja ${\displaystyle a_{1},\,b\in \mathbb {N} \;/\;\operatorname {mdc} (a_{1},\;b)=1}$ então a progressão aritmética ${\displaystyle a_{n}=a_{1}+b\cdot (n-1)}$ contém infinitos números primos. (conforme Dirichlet)

Demonstração

A demonstração do teorema utiliza as propriedades de certas funções multiplicativas (conhecidas como funções L de Dirichlet) e vários resultados sobre aritmética de números complexos e é suficientemente complexa para que alguns textos clássicos de teoria dos números decidam excluí-la de seu repertório de demonstrações. Para evitar fazer uma leitura demasiado densa, neste artigo se excluiu da demostração alguns corolários intermediários que aparecem marcados como [AD]. A demostração completa, junto com os corolários excluídos aqui, podem ser encontrados no artigo de González de la Hoz.^[1]

Seja ${\displaystyle G}$ um grupo comutativo finito de ordem ${\displaystyle h}$ e elemento unitário ${\displaystyle e}$.

Um caráter sobre ${\displaystyle G}$ é uma função ${\displaystyle \chi \in \mathbb {C} \;/\;\chi \neq 0,\;\chi (u\cdot v)=\chi (u)\cdot \chi (v)\;\forall u,v\in G}$ Um caráter sobre ${\displaystyle G}$ tem uma série de propriedades importantes para nossa demonstração:

1. Dado que tanto a inversa de um caráter sobre ${\displaystyle G}$ como o produto dos caráteres sobre ${\displaystyle G}$ é também um caráter sobre ${\displaystyle G}$, o conjunto de caráteres sobre ${\displaystyle G}$ forma um grupo comutativo com a multiplicação.

   Isto permite definir o caráter principal do grupo ${\displaystyle G}$ que se define como a função ${\displaystyle \chi _{0}\;/\;\chi _{0}(u)=1\;\forall u\in G}$. O caráter principal é portanto o elemento unidade do grupo definido pelo conjunto de caráteres sobre ${\displaystyle G}$.

2. Como ${\displaystyle \chi (e)=1}$ e dado que a ordem de um elemento divide a ordem do grupo, então ${\displaystyle \forall u\in G\;(\chi (u))^{h}=\chi (u^{h})=\chi (e)=1}$, o que implica que ${\displaystyle \mid \chi (u)\mid =1}$.

   Dado que o número de raizes do elemento unitário de ordem ${\displaystyle h}$ é como máximo ${\displaystyle h}$, o número de carateres ${\displaystyle c}$ é finito, sendo o valor ${\displaystyle h^{h}}$ uma cota superior de ${\displaystyle c}$.

   Por outra parte ${\displaystyle \forall u\in G,\;u\neq e}$ existe um caráter ${\displaystyle \chi \;/\;\chi (u)\neq 1}$ ([AD]). Por ele, e se representa mediante ${\displaystyle \sum _{G}a_{\chi }\,}$ a soma do valor ${\displaystyle a_{\chi }}$ associado a cada um dos diferentes caráteres do grupo ${\displaystyle G}$, se tem estas propriedades adicionais ([AD]):

3. ${\displaystyle \forall u\in G{\mbox{ se tem que: }}}$ ${\displaystyle \sum _{G}\chi (u)={\begin{cases}c&si\;u=e\\0&si\;u\neq e\end{cases}}}$${\displaystyle \quad {\mbox{ onde }}c=\sum _{G}1}$
4. ${\displaystyle \forall u\in G{\mbox{ se tem que: }}}$ ${\displaystyle \sum _{u\in G}\chi (u)={\begin{cases}h&si\;\chi =\chi _{0}\\0&si\;\chi \neq \chi _{0}\end{cases}}}$${\displaystyle \quad {\mbox{ onde }}h{\mbox{ é a ordem de }}G{\mbox{ sendo }}c=h}$
5. ${\displaystyle \forall u,v\in G{\mbox{ determina que: }}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{h}}\sum _{\chi }{\frac {\chi (u)}{\chi (v)}}={\begin{cases}1&si\;u=v\\0&si\;u\neq v\end{cases}}}$
6. ${\displaystyle \forall \chi _{1},\chi _{2}\in G{\mbox{ determina que: }}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{h}}\sum _{u\in G}{\frac {\chi _{1}(u)}{\chi _{2}(u)}}={\begin{cases}1&si\;\chi _{1}=\chi _{2}\\0&si\;\chi _{1}\neq \chi _{2}\end{cases}}}$

   Dado um ${\displaystyle q\in \mathbb {N} }$, se definem os carateres ${\displaystyle \chi }$ do grupo ${\displaystyle G=Z_{q}^{*}}$ definido como as classes de congruência módulo ${\displaystyle q}$ de números coprimos com ${\displaystyle q}$.

   O grupo ${\displaystyle G}$ tem ${\displaystyle \phi (q)}$ elementos, e o podemos representar por ${\displaystyle G=\lbrace a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{\phi (q)}\rbrace }$ onde os diferentes ${\displaystyle a_{i}}$ são os representantes da classe de congruência que obedecem a condição ${\displaystyle 0<a_{j}<q}$, e neste contexto se definem as funções estendidas dos caracteres ${\displaystyle \chi }$ de ${\displaystyle G}$ da seguinte maneira:

   ${\displaystyle \chi (n)={\begin{cases}\chi (a_{i})&\mathrm {si} \;n\equiv a_{i}{\pmod {q}}\\0&\mathrm {si} \;\operatorname {mcd} (n,q)>1\end{cases}}}$

   Estas funções se denominam caracteres de Dirichlet módulo q e são completamente multiplicativas. Existem ${\displaystyle \phi (q)}$ funções deste tipo e uma delas: ${\displaystyle \chi _{0}(n)={\begin{cases}1&\mathrm {si} \;n\equiv a_{i}{\pmod {q}}\\0&\mathrm {si} \;\operatorname {mcd} (n,q)>1\end{cases}}}$ se denomina caráter principal de Dirichlet.

   Estes carateres tem algumas propriedades significativas (derivadas das propriedades dos carateres de um grupo que vimos antes):

7. ${\displaystyle \sum _{n(\mathrm {\;mod\;} q)}\chi (n)={\begin{cases}\phi (q)&\mathrm {si} \;\chi =\chi _{0}\\0&\mathrm {si} \;\chi \neq \chi _{0}\end{cases}}}$
8. ${\displaystyle \sum _{n(\mathrm {\;mod\;} q)}\chi (u)={\begin{cases}\phi (q)&\mathrm {si} \;u\equiv 1{\pmod {q}}\\0&\mathrm {si} \;u\not \equiv 1{\pmod {q}}\end{cases}}}$
9. ${\displaystyle \forall a\in \mathbb {N} \;/\;\operatorname {mcd} (a,\;q)=1{\mbox{ se tem que: }}}$ ${\displaystyle \sum _{n(\mathrm {\;mod\;} q)}{\frac {\chi (u)}{\chi (a)}}={\begin{cases}\phi (q)&\mathrm {si} \;u=a\\0&\mathrm {si} \;u\neq a\end{cases}}}$

Neste ponto se deve introduzir o seguinte definição:

Uma função-L de Dirichlet é uma função da forma

${\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}}$ onde ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$ e ${\displaystyle \chi }$ é um caráter de Dirichlet.

Os valores de ${\displaystyle \chi }$ são periódicos, o que implica que a série ${\displaystyle L(s,\,\chi )}$ converge absolutamente para ${\displaystyle \Re (s)>1}$ e uniformemente para ${\displaystyle \Re (s)>1+\varepsilon ,\quad \forall \varepsilon >0.}$ Além disso, como os coeficientes são completamente multiplicativos, a série admite a seguinte expressão: ${\displaystyle L(s,\chi )=\prod _{p}\left(1-{\frac {\chi (p)}{p^{s}}}\right)^{-1}}$ Quando ${\displaystyle \Re (s)>1}$ A função-L de Dirichlet tem as seguintes propriedades ([AD]):

1. ${\displaystyle L(s,\chi )\neq 0}$
2. ${\displaystyle L(s,\chi _{0})=\zeta (s)\cdot \prod _{p\mid q}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)}$
3. ${\displaystyle {\frac {L^{\prime }(s,\chi )}{L(s,\chi )}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)\Lambda (n)}{n^{s}}}}$
4. ${\displaystyle \ln(L(s,\chi ))=\sum _{p}{\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{m}}{\frac {(\chi (p))^{m}}{p^{m\cdot s}}}}}$

Da igualdade ${\displaystyle L(s,\chi _{0})=\zeta (s)\cdot \prod _{p\mid q}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)}$ e as propriedades da função ${\displaystyle \zeta }$ se deduz que a função ${\displaystyle L(s,\chi _{0})}$ é analítica no semiplano complexo ${\displaystyle \Re (s)>0}$ a exceção de um polo em ${\displaystyle s=1}$, cujo resíduo é ${\displaystyle \prod _{p\mid q}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)={\frac {\phi (q)}{q}}}$. Como consequência disto, podemos afirmar que ${\displaystyle L(s,\chi _{0})=f(s)+{\frac {\phi (q)/q}{s-1}}}$, onde ${\displaystyle f}$ é analítica e não tem singularidades em ${\displaystyle \Re (s)>0}$, de modo que a função expressa por ${\displaystyle {\frac {L^{\prime }(s,\chi )}{L(s,\chi )}}={\frac {f^{\prime }(s)-{\frac {\phi (q)/q}{(s-1)^{2}}}}{f(s)+{\frac {\phi (q)/q}{s-1}}}}={\frac {(s-1)^{2}f^{\prime }(s)-\phi (q)/q}{(s-1)f(s)-\phi (q)/q}}{\frac {1}{s-1}}}$ tem também um polo em ${\displaystyle s=1}$ com resíduo ${\displaystyle -1}$. Por outra parte, toda função-L de Dirichlet ${\displaystyle L(s,\chi )}$ com ${\displaystyle \chi \neq \chi _{0}}$ é analítica e não apresenta singularidades na zona ${\displaystyle \Re (s)>0}$ ([AD]). E para ${\displaystyle k>0}$ se tem ([AD]) que ${\displaystyle \sum _{p=a{\pmod {q}}}{\frac {\ln(p)}{p^{k}}}=\sum _{n=a{\pmod {q}}}{\frac {\Lambda (n)}{n^{k}}}-O(1)}$ o qual também se pode expressar como:

${\displaystyle \sum _{p=a{\pmod {q}}}{\frac {\ln(p)}{p^{k}}}=}$${\displaystyle {\frac {-1}{\phi (q)}}\cdot {\frac {L^{\prime }(k,\chi _{0})}{L(k,\chi _{0})}}-{\frac {1}{\phi (q)\chi (a)}}\sum _{\chi {\pmod {q}} \atop \chi \neq \chi _{0}}{\frac {L^{\prime }(k,\chi )}{L(k,\chi )}}-O(1)}$

Esta expressão é chave para a demonstração do teorema de Dirichlet, pois podemos concluir que o teorema é correto se o primeiro termo do segundo membro diverge quando os restantes termos permanecem dentro de uns limites. Como se obedece que ${\displaystyle L(1,\chi )\neq 0}$ quando ${\displaystyle \chi \neq \chi _{0}}$ a seguinte expressão:

${\displaystyle \lim _{k\rightarrow 1^{+}}{\frac {1}{\phi (q)\chi (a)}}\sum _{\chi {\pmod {q}} \atop \chi \neq \chi _{0}}{\frac {L^{\prime }(k,\chi )}{L(k,\chi )}}={\frac {1}{\phi (q)\chi (1)}}\sum _{\chi {\pmod {q}} \atop \chi \neq \chi _{0}}{\frac {L^{\prime }(1,\chi )}{L(1,\chi )}}=O(2)}$

obtem um valor finito e, como vimos, dado que ${\displaystyle {\frac {1}{\chi _{0}(a)}}{\frac {L^{\prime }(k,\chi _{0})}{L(k,\chi _{0})}}={\frac {L^{\prime }(k,\chi _{0})}{L(k,\chi _{0})}}}$ tem um polo em ${\displaystyle s=1}$ com resíduo ${\displaystyle -1}$ resulta que ${\displaystyle \lim _{k\rightarrow 1^{+}}{\frac {L^{\prime }(k,\chi _{0})}{L(k,\chi _{0})}}=-\infty }$ o que implica que:

${\displaystyle \sum _{p=a{\pmod {q}}}{\frac {\ln(p)}{p}}=}$${\displaystyle \lim _{k\rightarrow 1^{+}}\sum _{p=a{\pmod {q}}}{\frac {\ln(p)}{p^{k}}}=}$${\displaystyle {\frac {-1}{\phi (q)}}\left(\lim _{k\rightarrow 1^{+}}{\frac {L^{\prime }(k,\chi _{0})}{L(k,\chi _{0})}}+O(2)\right)+O(1)=}$${\displaystyle \infty }$

o que prova o teorema.

Ver também

• Teorema de Green-Tao

Referências