Primos de Wall–Sun–Sun

Em teoria dos números, um número primo de Wall-Sun-Sun ou primo de Fibonacci-Wieferich é um tipo de número primo, do qual se conjectura que existe, porém atualmente não se conhece algum. Um primo p > 5 é definido como primo de Wall-Sun-Sun se

p 2 | F p − ( p 5 ) {\displaystyle p^{2}|F_{p-\left({\frac {p}{5}}\right)}} ,

onde F {\displaystyle F} é o ( p − ( p 5 ) ) {\displaystyle ({p-\left({\frac {p}{5}}\right)})} -ésimo número de Fibonacci e o símbolo de Legendre ( p 5 ) {\displaystyle \left({\frac {p}{5}}\right)} é definido como

( p 5 ) = { 1 se p ≡ ± 1 ( mod 5 ) − 1 se p ≡ ± 2 ( mod 5 ) {\displaystyle \left({\frac {p}{5}}\right)={\begin{cases}1&{\textrm {se}}\;p\equiv \pm 1{\pmod {5}}\\-1&{\textrm {se}}\;p\equiv \pm 2{\pmod {5}}\end{cases}}}

Os primos de Wall-Sun-Sun são chamados assim devido a D. D. Wall,[1] Zhi Hong Sun e Zhi Wei Sun. Z. H. Sun e Z. W. Sun mostraram em 1992 que se o primeiro caso do último teorema de Fermat fosse falso para um determinado número primo p, então p teria que ser necessariamente um primo de Wall-Sun-Sun.[2] Como um resultado prévio à demostração de Andrew Wiles do último teorema de Fermat em 1995, a busca de primos de Wall-Sun-Sun conduziria também à busca de possíveis contraexemplos da então, centenária conjectura.

Não há números primos de Wall-Sun-Sun conhecidos até o ano de 2007, Richard J. McIntosh and Eric L. Roettger mostraram [3] que se existirem alguns, estes devem ser > 2×1014.

Tem-se conjecturado que existe uma infinidade de primos de Wall-Sun-Sun.[4]

Veja também

  • Número primo de Wieferich
  • Número primo de Wilson
  • Número primo de Wolstenholme

Referências

  1. ↑ Wall, D. D. (1960). Fibonacci Series Modulo m. American Mathematical Monthly. pp. 525–532. doi:10.2307/2309169 
  2. ↑ Sun, Zhi-Hong; Sun, Zhi-Wei (1992). Fibonacci numbers and Fermat’s last theorem (PDF). Acta Arithmetica. pp. 371–388 
  3. ↑ McIntosh, R. J.; Roettger, E. L. (2007). A search for Fibonacci-Wieferich and Wolstenholme primes. Mathematics of Computation. pp. 2087–2094. doi:10.1090/S0025-5718-07-01955-2 
  4. ↑ Klaška, Jiří (2007). Short remark on Fibonacci-Wieferich primes. Acta Mathematica Universitatis Ostraviensis. pp. 21–25  .

Bibliografia

  • Crandall, Richard E.; Pomerance, Carl (2001). Prime Numbers: A Computational Perspective. Springer. p. 29. ISBN 0387947779 


Ligações externas

  • Weisstein, Eric W. «Primos de Wall–Sun–Sun» (em inglês). MathWorld 
  • Richard McIntosh, Status of the search for Wall-Sun-Sun primes (Octubre de 2003)