Função de Hann

A função de Hann (à esquerda) e a sua resposta em frequência (direita)

A função de Hann, nomeado após o meteorologista Austríaco Julius von Hann, é uma função de janelamento discreto dada por

w ( n ) = 1 2 ( 1 − cos ⁡ ( 2 π n N − 1 ) ) {\displaystyle w(n)={\frac {1}{2}}\;\left(1-\cos \left({\frac {2\pi n}{N-1}}\right)\right)}

ou

w ( n ) = sin 2 ⁡ ( π n N − 1 ) {\displaystyle w(n)=\sin ^{2}\left({\frac {\pi n}{N-1}}\right)}

ou, em termos da função haverseno,

w ( n ) = hav ⁡ ( 2 π n N − 1 ) . {\displaystyle w(n)=\operatorname {hav} \left({\frac {2\pi n}{N-1}}\right).}

Espectro

A janela de Hann é uma combinação linear das janelas retangulares moduladas w r = 1 [ 0 , N − 1 ] {\displaystyle w_{r}=\mathbf {1} _{[0,N-1]}} . A partir da fórmula de Euler

w ( n ) = 1 2 w r ( n ) − 1 4 e i 2 π n N − 1 w r ( n ) − 1 4 e − i 2 π n N − 1 w r ( n ) {\displaystyle w(n)={\frac {1}{2}}\,w_{r}(n)-{\frac {1}{4}}e^{\mathrm {i} 2\pi {\frac {n}{N-1}}}w_{r}(n)-{\frac {1}{4}}e^{-\mathrm {i} 2\pi {\frac {n}{N-1}}}w_{r}(n)}

Devido às propriedades básicas da transformada de Fourier, seu espectro é

w ^ ( ω ) = 1 2 w ^ r ( ω ) − 1 4 w ^ r ( ω + 2 π N − 1 ) − 1 4 w ^ r ( ω − 2 π N − 1 ) {\displaystyle {\hat {w}}(\omega )={\frac {1}{2}}{\hat {w}}_{r}(\omega )-{\frac {1}{4}}{\hat {w}}_{r}\left(\omega +{\frac {2\pi }{N-1}}\right)-{\frac {1}{4}}{\hat {w}}_{r}\left(\omega -{\frac {2\pi }{N-1}}\right)}

com o espectro da janela retangular

w ^ r ( ω ) = e − i ω N − 1 2 sin ⁡ ( ( N − 1 ) ω / 2 ) ( N − 1 ) ω / 2 {\displaystyle {\hat {w}}_{r}(\omega )=e^{-\mathrm {i} \omega {\frac {N-1}{2}}}{\frac {\sin((N-1)\omega /2)}{(N-1)\omega /2}}}

Se as janelas estão deslocadas no tempo em torno de 0 o fator de modulação desaparece e os sinais à frente dos termos 1/4 mudam para +.

Nome

Função de Hann é o nome original, em honra de von Hann; no entanto, a errônea função "Hanning" também é ouvida de vez em quando, derivado do papel em que foi nomeada, onde o termo "hanning um sinal" foi utilizado para designar a aplicação da janela de Hann.[carece de fontes?] A confusão surgiu a partir da semelhante função de Hamming, em homenagem a Richard Hamming.

Uso

A função de Hann é normalmente usada como uma função de janela em processamento de sinal digital para selecionar um subconjunto de uma série de amostras, a fim de realizar uma transformação de Fourier ou outros cálculos.

i.e. (usando versão contínua para ilustrar)

S ( τ ) = ∫ w ( t + τ ) f ( t ) d t {\displaystyle S(\tau )=\int w(t+\tau )f(t)\,dt}

A vantagem da janela de Hann é o aliasing muito baixo, e a desvantagem é uma pequena redução de resolução (o alargamento do lobo principal).

Referências

  • «On the use of windows for harmonic analysis with the discrete Fourier transform». Proceedings of the IEEE. 66. doi:10.1109/PROC.1978.10837 
  • «The Measurement of Power Spectra from the Point of View of Communications Engineering - Part I». Bell System Technical Journal. 37. doi:10.1002/j.1538-7305.1958.tb03874.x 

Ligações externas

  • Função de Hann em MathWorld
Ícone de esboço Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o.
  • v
  • d
  • e