Divisão polinomial

Em álgebra, a divisão polinomial é um algoritmo para dividir um polinômio por outro polinômio de menor ou igual grau, ou seja, uma versão generalizada da técnica aritmética de divisão ^[1]. Considerando os polinômios ${\displaystyle f(x)}$ e ${\displaystyle g(x)}$, em que o grau de ${\displaystyle f(x)}$ é maior ou igual ao grau do polinômio não nulo ${\displaystyle g(x)}$, existe um único par de polinômios ${\displaystyle q(x)}$ e ${\displaystyle r(x)}$ tal que

${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}=q(x)+{\frac {r(x)}{g(x)}}}$ , ou seja, ${\displaystyle f(x)=q(x)\cdot g(x)+r(x)}$,

sendo que, ou o grau de ${\displaystyle r(x)}$ é menor do que o de ${\displaystyle g(x)}$, ou ${\displaystyle r(x)}$ é nulo. Dividir o dividendo ${\displaystyle f(x)}$ pelo divisor não nulo ${\displaystyle g(x)}$, significa obter os polinômios ${\displaystyle q(x)}$ e ${\displaystyle r(x)}$^[2][3]. O grau do quociente ${\displaystyle q(x)}$ é igual ao grau do dividendo ${\displaystyle f(x)}$ menos o grau do divisor ${\displaystyle g(x)}$. Se o resto ${\displaystyle r(x)}$ for zero, o polinômio ${\displaystyle f(x)}$ tem o polinômio ${\displaystyle g(x)}$ como fator e diz-se que ${\displaystyle f(x)}$ é divisível por ${\displaystyle g(x)}$.

Como ${\displaystyle q(x)}$ e ${\displaystyle r(x)}$ são unicamente definidos, não dependem do método utilizado para determiná-los.

Método da chave

O método da chave consiste em um algoritmo baseado na clássica divisão de Euclides para números inteiros (também conhecida como método da chave), com as devidas adequações^[4]:

${\displaystyle {\begin{matrix}f(x)&{\underline {\left|g(x)\right.}}\\\,&q(x)\\r(x)&\,\end{matrix}}}$.

Exemplo

Encontre o quociente e o resto da divisão de ${\displaystyle x^{3}-2x^{2}-4}$ (dividendo) pelo divisor ${\displaystyle x-3}$.

No dividendo, todos os termos com expoentes inferiores ao maior devem ser escritos explicitamente, mesmo que os seus coeficientes sejam zero:

${\displaystyle x^{3}-2x^{2}+0x-4.}$

O quociente e o resto podem ser determinados como segue:

1. Divide-se o primeiro termo do dividendo pelo termo de maior grau do divisor (aquele com a maior potência de ${\displaystyle x}$) e insere-se o resultado (${\displaystyle x^{3}\div x=x^{2}}$) abaixo do divisor:

${\displaystyle {\begin{matrix}x^{3}-2x^{2}+0x-4&{\underline {\left|x-3\right.}}\\\,&x^{2}\end{matrix}}.}$

2. Multiplica-se o divisor pelo resultado obtido (o primeiro termo de eventual quociente) e escreve-se o resultado (${\displaystyle x^{2}(x-3)=x^{3}-3x^{2}}$) sob o dividendo:

${\displaystyle {\begin{array}{lc}x^{3}-2x^{2}+0x-4&{\underline {\left|x-3\right.}}\\x^{3}-3x^{2}&x^{2}\end{array}}}$

3. Subtrai-se o produto recém obtido do dividendo e escreve-se o resultado (${\displaystyle x^{3}-2x^{2}-4-(x^{3}-3x^{2})=x^{2}-4}$) embaixo:

${\displaystyle {\begin{array}{lc}x^{3}-2x^{2}+0x-4&{\underline {\left|x-3\right.}}\\{\underline {x^{3}-3x^{2}{\color {White}{00000000}}}}&x^{2}\\{\color {White}{00000}}x^{2}+0x-4&\,\end{array}}}$

4. Repete-se as três etapas anteriores, com a observação que desta vez o polinômio que acaba de ser escrito é usado como dividendo:

${\displaystyle {\begin{array}{lc}x^{3}-2x^{2}+0x-4&{\underline {\left|x-3\right.}}\\{\underline {x^{3}-3x^{2}{\color {White}{00000000}}}}&x^{2}+x\\{\color {White}{00000}}x^{2}+0x-4&\,\\{\color {White}{00000}}{\underline {x^{2}-3x{\color {White}{0000}}}}&\,\\{\color {White}{00000000-}}3x-4&\,\end{array}}}$

5. Repete-se a etapa 4 até que o polinômio resultado da subtração fique com grau menor do que o grau do divisor. Tal polinômio é o resto da divisão, sendo neste exemplo obtido no passo seguinte:

${\displaystyle {\begin{array}{lc}x^{3}-2x^{2}+0x-4&{\underline {\left|x-3\right.}}\\{\underline {x^{3}-3x^{2}{\color {White}{00000000}}}}&x^{2}+x+3\\{\color {White}{00000}}x^{2}+0x-4&\,\\{\color {White}{00000}}{\underline {x^{2}-3x{\color {White}{0000}}}}&\,\\{\color {White}{00000000-}}3x-4&\,\\{\color {White}{00000000-}}{\underline {3x-9}}&\,\\{\color {White}{00000000000000}}5&\,\end{array}}}$

Finalizado o processo, pode-se escrever:

${\displaystyle {x^{3}-2x^{2}-4}=(x-3)\,\underbrace {(x^{2}+x+3)} _{q(x)}+\underbrace {5} _{r(x)}}$.

Método dos coeficientes a determinar

O método dos coeficientes a determinar, também chamado de método de Descartes, consiste em encontrar os coeficientes dos polinômios ${\displaystyle q(x)}$ e ${\displaystyle r(x)}$ pela relação

${\displaystyle f(x)=q(x)\cdot g(x)+r(x),}$

de acordo com o grau que tais polinômios podem apresentar^[5]. Usam-se os fatos de que o grau do quociente ${\displaystyle q(x)}$ é igual à subtração dos graus de ${\displaystyle f(x)}$ e ${\displaystyle g(x)}$ e de que o grau do resto ${\displaystyle r(x)}$ é menor do que o grau de ${\displaystyle g(x)}$ (ou igual no caso em que ${\displaystyle g(x)}$ tem grau ${\displaystyle 0}$.

Exemplo

Encontre o quociente e o resto da divisão de ${\displaystyle f(x)=x^{2}+x+2}$ (dividendo) pelo divisor ${\displaystyle g(x)=x-1}$.

Nota-se, inicialmente, que os graus de ${\displaystyle f(x)}$ e ${\displaystyle g(x)}$ são, respectivamente, ${\displaystyle 2}$ e ${\displaystyle 1}$, de modo que o grau de ${\displaystyle q(x)}$ é ${\displaystyle 1}$, ou seja, ${\displaystyle q(x)=ax+b}$, com ${\displaystyle a\neq 0}$. Ainda, como o grau do resto é menor do que o grau de ${\displaystyle g(x)}$, ${\displaystyle r(x)}$ tem grau zero, ou seja, ${\displaystyle r(x)=c}$. Substituindo em

${\displaystyle f(x)=q(x)\cdot g(x)+r(x),}$

obtém-se:

${\displaystyle x^{2}+x+2=(ax+b)\cdot (x-1)+c\Rightarrow x^{2}+x+2=(ax^{2}-ax+bx-b)+c\Rightarrow x^{2}+x+2=(a)x^{2}+(-a+b)x+(-b+c)}$

o que conduz ao seguinte sistema linear

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}a=1\\-a+b=1\\-b+c=2\end{matrix}}\right.}$,

o qual fornece ${\displaystyle a=1}$, ${\displaystyle b=2}$ e ${\displaystyle c=4}$. Assim, ${\displaystyle q(x)=x+2}$ e ${\displaystyle r(x)=4}$. Ou seja, ${\displaystyle x^{2}+x+2=(x+2)\cdot (x-1)+4}$.

Divisões por polinômios do tipo ${\displaystyle x-a}$

Ao dividir um polinômio qualquer por um de grau 1 do tipo ${\displaystyle x-a}$, pode ser utilizado o Teorema do resto, o Teorema de D’Alembert^[1][3] e o Teorema do fator^[2].

O Teorema do resto garante o resto de uma divisão de um polinômio ${\displaystyle f(x)}$ qualquer por um polinômio do tipo ${\displaystyle x-a}$, com ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$, é igual a ${\displaystyle f(a)}$, ou seja, ${\displaystyle r(x)=f(a)}$. Já o Teorema de D’Alembert afirma que para que um polinômio ${\displaystyle f(x)}$ seja divisível por ${\displaystyle x-a}$ é necessário e suficiente que ${\displaystyle a}$ seja raiz de ${\displaystyle f(x)}$, ou seja, que ${\displaystyle f(a)=0}$.

O Teorema do fator diz que se ${\displaystyle k}$ é uma raiz de ${\displaystyle f(x)}$, com grau maior que zero, então o polinômio ${\displaystyle x-k}$ é um fator de ${\displaystyle f(x)}$. Assim, ${\displaystyle f(x)}$ é divisível por ${\displaystyle (x-x_{1})}$ e por ${\displaystyle (x-x_{2})}$, com ${\displaystyle x_{1}\neq x_{2}}$, se, e somente se, ${\displaystyle f(x)}$ for divisível por ${\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})}$.

Com o disposto acima, para realizar a divisão de um polinômio ${\displaystyle f(x)}$ por um polinômio do tipo ${\displaystyle x-a}$ podemos utilizar o dispositivo ou algoritmo de Briot-Ruffini.

Exemplo de código fonte

Neste exemplo, criamos dois objetos da classe PolynomialFunction, um representando o polinômio P(x) = x^4 + 2x^3 - 5x^2 + 4x + 3 e outro representando o polinômio Q(x) = x^2 + x - 2. Em seguida, utilizamos o método polynomialDivision da classe PolynomialFunction para realizar a divisão polinomial de P(x) por Q(x). O método retorna um array com dois objetos PolynomialFunction, o primeiro representando o quociente da divisão e o segundo representando o resto.

import org.apache.commons.math3.analysis.polynomials.PolynomialFunction;
import org.apache.commons.math3.analysis.polynomials.PolynomialFunctionNewtonForm;
import org.apache.commons.math3.analysis.polynomials.PolynomialFunctionLagrangeForm;
import org.apache.commons.math3.analysis.polynomials.PolynomialFunctionNewtonForm.NevilleInterpolator;

public class PolynomialDivisionExample {
  
  public static void main(String[] args) {
    // Criando o polinômio P(x) = x^4 + 2x^3 - 5x^2 + 4x + 3
    PolynomialFunction p = new PolynomialFunction(new double[] {3, 4, -5, 2, 1});
    
    // Criando o polinômio Q(x) = x^2 + x - 2
    PolynomialFunction q = new PolynomialFunction(new double[] {-2, 1, 1});
    
    // Realizando a divisão polinomial P(x) / Q(x)
    PolynomialFunction[] result = p.polynomialDivision(q);
    PolynomialFunction quotient = result[0]; // Quociente
    PolynomialFunction remainder = result[1]; // Resto
    
    // Exibindo o resultado da divisão polinomial
    System.out.println("Quociente: " + quotient);
    System.out.println("Resto: " + remainder);
  }
}

Ver também

Algoritmo de Briot-Ruffini

Teorema fundamental da álgebra

Teorema do resto

Algoritmo Paramétrico

Referências

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