Zbiór typu G-delta

Wikipedia:Weryfikowalność
 Ten artykuł od 2014-05 wymaga zweryfikowania podanych informacji.
Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych.
Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte.
Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary)
Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Definicja

Podzbiór przestrzeni topologicznej nazywamy zbiorem typu G δ {\displaystyle G_{\delta }} (czyt. „zbiorem typu gie delta”), gdy jest on przekrojem przeliczalnej rodziny zbiorów otwartych.

Według nowszej terminologii (zob. Hierarchia zbiorów borelowskich) zbiory typu G δ {\displaystyle G_{\delta }} to inaczej zbiory klasy Π 2 0 . {\displaystyle \Pi _{2}^{0}.}

Własności

Jest widoczne wprost z definicji, że przecięcie przeliczalnie wielu zbiorów typu G δ {\displaystyle G_{\delta }} jest też zbiorem tego typu; wykazuje się, że jest nim również suma skończenie wielu takich zbiorów.

Dopełnienie zbioru G δ {\displaystyle G_{\delta }} jest zbiorem Fσ i na odwrót. Każdy zbiór otwarty jest typu G δ , {\displaystyle G_{\delta },} a w przestrzeniach metryzowalnych również zbiory domknięte są tego typu.

Przykłady

  • Zbiór liczb niewymiernych jest zbiorem typu G δ , {\displaystyle G_{\delta },} można go bowiem zapisać jako przekrój
⋂ q ∈ Q R ∖ { q } . {\displaystyle \bigcap _{q\in \mathbb {Q} }\mathbb {R} \setminus \{q\}.}
  • Zbiór liczb wymiernych nie jest zbiorem typu G δ {\displaystyle G_{\delta }} (ten nietrywialny fakt jest konsekwencją twierdzenia Baire’a).
  • Można wykazać, że zbiór punktów ciągłości dowolnej funkcji f : R → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } jest typu G δ . {\displaystyle G_{\delta }.}

Z powyższych przykładów wynika w szczególności, że nie może istnieć funkcja o dziedzinie R {\displaystyle \mathbb {R} } ciągła we wszystkich punktach wymiernych i tylko w nich. (Da się natomiast udowodnić istnienie funkcji określonej na R , {\displaystyle \mathbb {R} ,} której zbiorem punktów ciągłości jest zbiór liczb niewymiernych).

Zobacz też