Wzór Eulera-Maclaurina

Wzór Eulera-Maclaurina – wzór dający silne połączenie między całkami (zobacz rachunek różniczkowy i całkowy) a sumami. Może być użyty do przybliżania całek przez skończone sumy lub odwrotnie, do szacowania skończonych sum i nieskończonych szeregów przez całki. Wzór został odkryty niezależnie przez Leonharda Eulera i Colina Maclaurina około 1735. Euler potrzebował go do obliczenia wolno zbiegających nieskończonych szeregów, podczas gdy Maclaurin wykorzystał go do przybliżonego obliczania całek.

Jeśli ${\displaystyle n}$ jest liczbą naturalną i ${\displaystyle f(x)}$ jest gładką (tzn. wystarczająco wiele razy różniczkowalną) funkcją określoną dla wszystkich liczb rzeczywistych ${\displaystyle x}$ pomiędzy 0 i ${\displaystyle n,}$ wtedy całka

${\displaystyle I=\int \limits _{0}^{n}f(x)\,dx}$

może być przybliżona przez sumę (zob. wzór trapezów)

${\displaystyle S={\frac {f(0)}{2}}+f(1)+\ldots +f\left(n-1\right)+{\frac {f(n)}{2}}.}$

Wzór Eulera-Maclaurina pozwala wyrażać różnicę pomiędzy sumą ${\displaystyle S}$ a całką ${\displaystyle I}$ za pomocą wartości wyższych pochodnych ${\displaystyle f^{(k)}}$ na brzegach przedziału ${\displaystyle [0,n].}$ Dla każdej liczby naturalnej ${\displaystyle p}$ mamy

${\displaystyle S-I=\sum _{k=1}^{p}{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(0)\right)+R,}$

gdzie ${\displaystyle B_{2}=1/6,}$ ${\displaystyle B_{4}=-1/30,}$ ${\displaystyle B_{6}=1/42,}$ ${\displaystyle B_{8}=-1/30,...}$ są liczbami Bernoulliego, zaś ${\displaystyle R}$ jest błędem przybliżenia. Wartość błędu może być oszacowana jako

${\displaystyle \left|R\right|\leqslant {\frac {2}{(2\pi )^{2p}}}\int \limits _{0}^{n}\left|f^{(2p+1)}(x)\right|\,dx.}$

Przy odpowiednich założeniach na funkcję ${\displaystyle f}$ powyższa wielkość dąży do zera, gdy ${\displaystyle p}$ dąży do nieskończoności. Wykonując odpowiednie podstawienie, można zapisać powyższy wzór również dla funkcji ${\displaystyle f}$ zdefiniowanych na innych przedziałach.

Jeśli ${\displaystyle f}$ jest wielomianem oraz ${\displaystyle p}$ jest wystarczająco duże, to wyraz reszty znika. Np. jeśli ${\displaystyle f(x)=x^{3},}$ możemy podstawić ${\displaystyle p=2,}$ by otrzymać (po uproszczeniu)

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}.}$

Dla funkcji ${\displaystyle f(x)=\log(x),}$ formuła Eulera-Maclaurina może być użyta do wyliczenia precyzyjnego oszacowania błędu we wzorze Stirlinga przybliżającym wartość silni.

Linki zewnętrzne

• Bernoulli numbers, polynomials and applications of the Euler-Maclaurin formula