Linia styczna do krzywej w punkcie oznaczonym czerwoną kropką. Wszystkie wektory styczne do krzywej w tym punkcie leżą na tej prostej, tworząc przestrzeń styczną 1-wymiarową.Płaszczyzna styczna do powierzchni sferycznej. Wszystkie wektory styczne do tej powierzchni w danym punkcie leżą na tej płaszczyźnie, tworząc przestrzeń styczną 2-wymiarową.
Wektor styczny to wektor o kierunku wyznaczonym przez styczną do:
krzywej,
powierzchni,
hiperpowierzchni,
poprowadzoną w danym punkcie przestrzeni euklidesowej w ogólności n-wymiarowej. Wektory styczne w sposób analityczny opisuje geometria różniczkowa.
Dla linii krzywej wektory te należą do prostej stycznej do tej krzywej w danym jej punkcie i tworzą przestrzeń styczną 1-wymiarową.
Dla powierzchni 2D wektory te leżą na płaszczyźnie stycznej do tej powierzchni w danym jej punkcie i tworzą przestrzeń styczną 2-wymiarową.
Dla hiperpowierzchni (N-1)-wymiarowej zanurzonej w przestrzeni euklidesowej N-wymiarowej, wektory styczne leżą na tej stycznej hiperpowierzchni euklidesowej (N-1)-wymiarowej i tworzą przestrzeń styczną (N-1)-wymiarową.
Wektory styczne do powierzchni 2D
(1) Dwuwymiarową powierzchnię można opisać za pomocą dwóch niezależnych od siebie parametrów
(2) Istnieją dwa szczególne wektory styczne oraz do powierzchni – są to wektory styczne odpowiednio do krzywych oraz przecinających się punkcie o wektorze wodzącym
Współrzędne wektorów oblicza się jako pochodne funkcji względem parametrów oraz
gdzie to wartości parametrów wyznaczające punkt czyli:
(3) W skrócie wektory te można zapisać następująco:
(1) Współrzędne kartezjańskie są wyrażone przez współrzędne sferyczne wzorami
(2) Wektory styczne mają postać:
(3) Dowolny wektor styczny do sfery w punkcie wyraża się w postaci kombinacji liniowej wektorów stycznych oraz tj.
Np. dla mamy punkt leżący na osi układu współrzędnych oraz wektory bazowe styczne
i wektory styczne mają postać
(4) Wektory te wyznaczają płaszczyznę styczną do sfery o promieniu w punkcie i równaniu
Widać, że płaszczyzna ta ma stałą współrzędną -ową równą i jest równoległa do płaszczyzny pionowej
Wektor styczny do krzywej w
Krzywą w przestrzeni można opisać za pomocą jednego parametru
(Analogiczne zależności są słuszne dla krzywej w przestrzeni n-wymiarowej).
Parametr wyznacza linię współrzędnej krzywoliniowej w przestrzeni Wektor styczny do krzywej w danym punkcie otrzymuje się, obliczając pochodne funkcji względem parametru
gdzie to wartości parametru wyznaczające punkt czyli:
W skrócie wektor styczny można zapisać następująco:
gdzie jest wektorem wodzącym punktu krzywej.
Wektor ten wyznacza prostą styczną do krzywej w punkcie o równaniu
gdzie
Przykład: Wektor styczny do krzywej w
Krzywa w przestrzeni dana jest równaniem parametrycznym
Wektor styczny o długości jednostkowej dla ma postać
Wektor ten wyznacza kierunek prostej stycznej do krzywej w punkcie o równaniu
(2) Współrzędne wektora stycznego do krzywej wyznacza się, licząc pochodne współrzędnych wektora wodzącego krzywej po parametrze
Współrzędne krzywoliniowe
W układzie współrzędnych krzywoliniowych
mamy wzory analogiczne jak w układzie kartezjańskim:
(1) krzywa jest zadana równaniami parametrycznymi
(2) współrzędne wektora stycznego do krzywej oblicza się, licząc pochodne współrzędnych po parametrze [1]
przy tym należy pamiętać, iż współrzędne powyższe ma wektor w tzw. bazie naturalnej (por. współrzędne krzywoliniowe).
Dowód:
Wektor styczny jest wektorem kontrawariantnym (jako iloraz różniczki współrzędnych przez różniczkę parametru, który jest niezmiennikiem transformacji współrzędnych). Wektor kontrawariantny przy przejściu z jednego układu (tu kartezjańskiego) na inny (tu krzywoliniowy) transformuje się wg prawa[2]
Podstawiając otrzymamy
Jednocześnie wiadomo, że zachodzi zależność między różniczkami w starym i nowym układzie
Porównując dwa ostatnie wzory, widać, że musi zachodzić cnd.