Teoria węzłów

Węzeł trójlistny (trójlistnik albo *koniczynka* oznaczony jako 3₁) to najprostszy węzeł nietrywialny

Przykład supła trywialnego oznaczanego jako (0)

Teoria węzłów – dział topologii zajmujący się badaniem związanym z zagadnieniami i własnościami węzłów i splotów, a także supłów zaproponowanych przez Johna H. Conwaya^[1].

Węzły to zamknięte pętle umieszczone w przestrzeni trójwymiarowej, czyli zaplątane krzywe z połączonymi końcami. Mówiąc inaczej węzeł to homeomorficzny obraz okręgu zanurzonego w przestrzeni 3-wymiarowej R³.

Splot to suma skończonej ilości węzłów wzajemnie rozłącznych, zwanych składowymi splotu, które mogą być zasupłane i splecione ze sobą. Węzeł jest splotem o jednej składowej, a splot jest sumą okręgów parami rozłącznych. Kilka węzłów tworzy splot, a poszczególne węzły nazywane są jego ogniwami. Sam węzeł zatem jest szczególnym przypadkiem splotu.

Podstawowym problemem teorii węzłów jest klasyfikacja węzłów i ich rozróżnianie.

Najprostszym węzłem jest tzw. węzeł trywialny czyli okrąg (inaczej pętla trywialna, zwany też niewęzłem i oznaczony przez 0₁). Pełną klasyfikację węzłów do 9. rzędu opracował w końcu lat 20. XX wieku Kurt Reidemeister^[2]^[3].

W 1928 roku James W. Alexander przyporządkował węzłom pewne wielomiany^[4].

W 1984 roku nowozelandzki matematyk Vaughan F. R. Jones odkrył niezmiennik i oznaczył V, a obecnie znany jest jako wielomian Jonesa. Jones przypisał każdemu splotowi zorientowanemu wielomian Laurenta, przez co odkrył zaskakujące związki między algebrą operatorów i teorią węzłów i podał proste niezmienniki charakteryzujące węzły. Za prace nad teorią węzłów otrzymał w 1990 roku Medal Fieldsa.

W 1985 roku grupa matematyków w składzie: J. Hoste, A. Ocneanu, K. Millett, P. J. Freyd, W. B. R. Lickorish, D. N. Yetter^[5] oraz w 1987 roku Józef Przytycki, Paweł Traczyk^[6], odkryła inny niezmiennnik zwany wielomianem HOMFLY-PT (nazwa od inicjałów autorów).

Zastosowania

Teoria węzłów odgrywa istotną rolę przy badaniu rozmaitości trójwymiarowych.

Teoria węzłów znalazła zastosowanie w rozmaitych dziedzinach życia takich jak analiza obwodów elektrycznych, kryptografia czy mechanika statystyczna. W biologii molekularnej i chemii supramolekularnej węzłów używa się też do opisu struktur DNA i białek.

Zobacz też

Zobacz multimedia związane z tematem: Teoria węzłów

Teoria warkoczy

Przypisy

↑ Conway J.: An enumeration of knots and links and some of their related properties. Computational Problems in Abstract Algebra, Proc. Conf. Oxford 1967 (Ed. J. Leech), 329-358. New York: Pergamon Press, 1970
↑ Reidemeister K.: Knotentheorie. Berlin: Springer Verlag, 1932
↑ Węzłów teoria, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-07-23] .
↑ Alexander, J. W. (1928). "Topological invariants of knots and links". Trans. Amer. Math. Soc. 30 (2): 275–306. doi:10.2307/1989123.
↑ J. Hoste, A. Ocneanu, K. Millett, P. Freyd, W. B. R. Lickorish and D. Yetter, A new polynomial invariant of knots and links, Bull. Amer. Math. Soc. 12 (1985) 239-246.
↑ J. Przytycki and P. Traczyk, Conway Algebras and Skein Equivalence of Links, Proc. Amer. Math. Soc. 100 (1987) 744-748.

Bibliografia

Książki

RomanR. Duda RomanR., Wprowadzenie do topologii, Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1986, ISBN 83-01-05714-9, OCLC 835906814 .
Louis H.L.H. Kauffman Louis H.L.H., Knots and Physics, wyd. 2nd ed, Singapore: World Scientific Publishing Co Ltd, 1993, ISBN 981-02-1656-4, OCLC 30675365 .
Charles Livingston, Knot Theory, Washington, DC: The Mathematical Association of America, 1993, ISBN 0-88385-027-3.
Józef H.J.H. Przytycki Józef H.J.H., Węzły: Podejście kombinatoryczne do teorii węzłów, Warszawa: „Script”, 1995, ISBN 83-904564-0-0, OCLC 835322498 .
HugoH. Steinhaus HugoH., Kalejdoskop matematyczny, JózefJ. Łukaszewicz (oprac.), Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1989, ISBN 83-02-02326-4, OCLC 749380384 .

Czasopisma

Lee Neuwirth, The Theory of Knots, Scientific American, No. 6, 1979, s. 84-96.
F. Y. Wu, Knot theory and statistical mechanics, Reviews of Modern Physics, Vol. 64, No. 4, October 1992.

Linki zewnętrzne

Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Knot Theory, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).
Knot theory (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].
How The Most Useless Branch of Math Could Save Your Life (ang.), kanał Veritasium na YouTube, 3 września 2023 [dostęp 2023-09-06] – krótka historia teorii węzłów i jej zastosowań.

Działy matematyki

działy
ogólne

według trudności	matematyka elementarna matematyka wyższa
według celu	matematyka czysta matematyka stosowana
inne	matematyka doświadczalna matematyka parakonsystentna supermatematyka

działy
czyste

algebra	elementarna liniowa i wieloliniowa abstrakcyjna algebra przemienna algebra lokalna teoria Galois różniczkowa teoria Galois teoria grup geometryczna teoria grup teoria Liego homologiczna różniczkowa uniwersalna teoria reprezentacji
analiza matematyczna	analiza algebraiczna analiza funkcjonalna teoria spektralna analiza geometryczna analiza globalna analiza harmoniczna analiza mikrolokalna analiza na rozmaitościach analiza niestandardowa analiza numeryczna nomografia analiza p-adyczna analiza rzeczywista analiza wektorowa analiza wielowymiarowa analiza wypukła analiza zespolona rachunek różniczkowy i całkowy rachunek wariacyjny teoria dystrybucji teoria miary teoria potencjału
arytmetyka	elementarna teoretyczna lub wyższa, in. teoria liczb algebraiczna algorytmiczna analityczna elementarna geometryczna teoria sit
geometria	absolutna afiniczna algebraiczna analityczna arytmetyczna diofantyczna dyskretna euklidesowa planimetria stereometria fraktalna inwersyjna kombinatoryczna konforemna metryczna nieeuklidesowa eliptyczna hiperboliczna sferyczna nieprzemienna obliczeniowa różniczkowa symplektyczna rzutowa skończona syntetyczna tropikalna uporządkowania wykreślna zespolona trygonometria sferyczna
matematyka dyskretna	kombinatoryka teoria Ramseya teoria grafów algebraiczna geometryczna spektralna topologiczna
podstawy	logika matematyczna algebraiczna mereologia rachunek zdań teoria dowodu teoria modeli teoria rekursji teoria typów metamatematyka metalogika teoria kategorii teoria mnogości opisowa arytmetyka liczb kardynalnych arytmetyka liczb porządkowych teoria PCF teoria obliczeń teoria obliczalności teoria złożoności
teoria układów dynamicznych	teoria chaosu teoria katastrof teoria ergodyczna
topologia	algebraiczna teoria homotopii geometryczna mnogościowa ogólna różniczkowa teoria Morse’a teoria położenia teoria węzłów teoria warkoczy teoria wymiaru
pozostałe	K-teoria probabilistyka rachunek różnicowy teoria osobliwości teoria porządku teoria punktu stałego

działy
stosowane

nauki przyrodnicze	biomatematyka chemia matematyczna fizyka matematyczna
nauki społeczne	ekonomia matematyczna lingwistyka matematyczna matematyka finansowa matematyka ubezpieczeniowa psychologia matematyczna socjologia matematyczna teoria głosowań
nauki techniczne	kryptologia teoria informacji teoria kolejek teoria sterowania
statystyka matematyczna	rachunek wyrównawczy statystyka nieparametryczna teoria estymacji
inne	teoria gier teoria decyzji