Rozkład geometryczny
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa
|
Dystrybuanta
|
Parametry | ![{\displaystyle 0<p\leqslant 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e896d4e4773e784e0cccd3d6882b9ba365593384) prawdopodobieństwo sukcesu (liczba rzeczywista) |
Nośnik | |
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa | |
Dystrybuanta | |
Wartość oczekiwana (średnia) | |
Mediana | ![{\displaystyle \left\lceil {\frac {-\log(2)}{\log(1-p)}}\right\rceil }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28db475488b0f987ffc6578bf9924caba6020939) niejednoznaczna gdy
|
Moda | |
Wariancja | |
Współczynnik skośności | |
Kurtoza | |
Entropia | |
Funkcja tworząca momenty | |
Funkcja charakterystyczna | |
Odkrywca | William Feller (1950) |
Rozkład geometryczny – dyskretny rozkład prawdopodobieństwa opisujący prawdopodobieństwo zdarzenia, że proces Bernoulliego odniesie pierwszy sukces dokładnie w
-tej próbie.
musi być liczbą naturalną dodatnią. Rozkład ten oznacza się zwykle symbolem Geo(p).
Zmienna losowa X ma więc rozkład Geo(p) jeśli
![{\displaystyle P(X=k)=(1-p)^{k-1}p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae0ecd256d5781b2c291028bc3cec36ec9c03668)
Zauważmy, że jeśli X ma rozkład Geo(p), to
Zatem jej dystrybuanta jest zadana wzorem
dla liczb naturalnych k.
Uwaga: Niekiedy zamiast badać w której próbie odniesiemy pierwszy sukces, badamy ile prób z rzędu kończy się porażką. Wówczas tak zdefiniowane
jest o jeden mniejsze, więc we wszystkich wzorach należy dodać do niego 1.
Rozkład geometryczny to szczególny przypadek ujemnego rozkładu dwumianowego dla
Ciągłym odpowiednikiem rozkładu geometrycznego jest rozkład wykładniczy.
Momenty
Funkcja tworząca prawdopodobieństwo zmiennej losowej X o rozkładzie Geo(p) jest zadana wzorem
![{\displaystyle f(t)=\sum _{k=1}^{\infty }t^{k}(1-p)^{k-1}p={\frac {pt}{1-(1-p)t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8323fdc0427a4bf10d68920daff811bde7bfef4b)
Z tego otrzymujemy
![{\displaystyle \mathrm {E} (X)=f'(1)={\frac {p}{(1-(1-p)t)^{2}}}|_{t=1}={\frac {1}{p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a012507e1d5203c307f5c7b1fa2d9b935464da6a)
oraz
![{\displaystyle \mathrm {E} (X(X-1))=f''(1)={\frac {2(1-p)}{p^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/231f50f41ef7b70a49dc9ccd40c0f27a477bdead)
z czego otrzymujemy
![{\displaystyle \mathrm {var} (X)=f''(1)+f'(1)-(f'(1))^{2}={\frac {2(1-p)}{p^{2}}}+{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{p^{2}}}={\frac {1-p}{p^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a7ce3ce0653d16fdb1b45a29fea4bdfe0843429)
Wyższe momenty główne
rozkładów Geo(p) mogą być wyznaczone za pomocą funkcji generującej momenty. Spełniają one następującą zależność rekurencyjną:
![{\displaystyle m_{k+1}=(1-p)\left(\left({\frac {1}{p}}+{\frac {1}{1-p}}\right)m_{k}-{\frac {dm_{k}}{dp}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a3fcd545d5e6b8b444654047812ac459e1447c3)
Momenty centalne
rozkładów Geo(p) mogą być wyznaczone za pomocą funkcji generującej momenty centralne. Spełniają one następującą zależność rekurencyjną:
![{\displaystyle \mu _{a+1}=(1-p)\left({\frac {a}{p^{2}}}\mu _{a-1}-{\frac {d\mu _{a}}{dp}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e38c58f7936fb61356c9f54796af2e391d55f6f)
Inne własności
Rozkład geometryczny jest bezpamięciowym: jeśli
ma rozkład Geo(p) i
są liczbami naturalnymi, to
![{\displaystyle P(X>k+l|X>k)={\frac {P(X>k+l,X>k)}{P(X>k)}}={\frac {P(X>k+l)}{P(X>k)}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81fa229c2c1efdac877e9a509d860dd5fcf1710c)
![{\displaystyle {\frac {(1-p)^{k+l}}{(1-p)^{k}}}=(1-p)^{l}=P(X>l).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a7cddcea85130593aa17c2ed90c8df495fa8e91)
Związki z innymi rozkładami
- Jeśli
są niezależne i mają rozkład Geo(p), to ich suma
ma ujemny rozkład dwumianowy NB(r,p) - Jeśli
są niezależne i mają rozkład Geo(p) to zmienna losowa
ma rozkład geometryczny z parametrem ![{\displaystyle 1-(1-p)^{r}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7be6b995577b6f9493bebf90538b53bca7c54751)
Zobacz też
Rozkłady statystyczne
Rozkłady ciągłe | |
---|
Rozkłady dyskretne | |
---|