| Ten artykuł wymaga uzupełnienia informacji. Artykuł należy uzupełnić o istotne informacje: opisać metodę sprowadzania równania Eulera do liniowego równania różniczkowego o stałych współczynnikach. Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu. |
Równanie różniczkowe Eulera rzędu n – równanie różniczkowe postaci:
dla ![{\displaystyle a_{n}\neq 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b581d7e401dc0a8e7dfc974dc9eeca4041662afb)
gdzie
są stałymi, a równanie jest liniowe względem
i jego pochodnych.
Jeżeli
to równanie Eulera przyjmuje postać:
dla ![{\displaystyle a\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f455a7f96d74aa94573d8e32da3b240ab0aa294f)
i nazywamy je równaniem jednorodnym.
Równanie różniczkowe Eulera można sprowadzić do równania różniczkowego liniowego o stałych współczynnikach podstawieniem
![{\displaystyle x=e^{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/918a2efbbd9148113c3fe5a2dd21ab62bdcd4cba)
![{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=e^{t}=x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/588cc99361071f9dbb85353de787c487d391f48d)
![{\displaystyle {\frac {dt}{dx}}=e^{-t}=x^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6e16ad367364eb23681078a70c0e434624c4dcb)
Dla pierwszego składnika:
![{\displaystyle x{\frac {dy}{dx}}=x{\frac {dy}{dt}}{\frac {dt}{dx}}=x{\frac {dy}{dt}}x^{-1}={\frac {dy}{dt}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09d4cd743a225fe4844a71bc169314a7a14fb571)
Dla drugiego składnika:
![{\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=x^{2}{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)=x^{2}{\frac {dt}{dx}}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {dy}{dt}}{\frac {dt}{dx}}\right)=e^{2t}e^{-t}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {dy}{dt}}e^{-t}\right)=e^{t}\left({\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}e^{-t}-{\frac {dy}{dt}}e^{-t}\right)={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}-{\frac {dy}{dt}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0952a50be11f5f5f22badf7854765db824209a9e)
Dla pozostałych obliczenia wyglądają analogicznie.
Weźmy równanie
![{\displaystyle a_{2}x^{2}y^{(2)}+a_{1}xy^{(1)}+a_{0}y=f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9382d06893a06eb13a23a50193985842e56ec516)
Połóżmy
![{\displaystyle y(x)=u(\ln(|x|))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d05c51327edca9b06896807acc69aaac62d4ab59)
![{\displaystyle a_{2}x^{2}\left(u^{(2)}\cdot {\frac {1}{x^{2}}}-u^{(1)}\cdot {\frac {1}{x^{2}}}\right)+a_{1}xu^{(1)}\cdot {\frac {1}{x}}+a_{0}u=f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1772da2423941c20e4f042d84e674a61dcc50090)
![{\displaystyle a_{2}u^{(2)}-a_{2}u^{(1)}+a_{1}u^{(1)}+a_{0}u=f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f457dd7206d00952edff4c74bad6c9ecfe19a8a)
![{\displaystyle a_{2}u^{(2)}+(a_{1}-a_{2})u^{(1)}+a_{0}u=f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b3e6cbe8fa13fce057251ee64cfb02d65691e38)
A to jest już równanie liniowe o stałych współczynnikach
Znajdujemy pierwiastki równania charakterystycznego, następnie uzmienniamy stałą, rozwiązując układ z macierzą Wrońskiego
Przykład
![{\displaystyle x^{3}y^{(3)}-x^{2}y^{(2)}-2xy^{(1)}+6y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdebb1cb736d9ec729616adc3177c23bb4c465f9)
![{\displaystyle y(x)=u(\ln {|x|})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f380b7247529343e98d67c2f76157c4f47aee08d)
![{\displaystyle -u^{(2)}\cdot 3/x^{3}x^{3}\left(u^{(3)}\cdot {\frac {1}{x^{3}}}-u^{(2)}\cdot {\frac {1}{x^{3}}}+u^{(1)}\cdot {\frac {2}{x^{3}}}\right)-x^{2}\left(u^{(2)}\cdot {\frac {1}{x^{2}}}-u^{(1)}\cdot {\frac {1}{x^{2}}}\right)-2xu^{(1)}\cdot {\frac {1}{x}}+6y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa42818599659c366d7281818e7087ed4530e2c2)
![{\displaystyle u^{(3)}-3u^{(2)}+2u^{(1)}-(u^{(2)}-u^{(1)})-2u^{(1)}+6u=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c495c52d92ecc4cd91077fdd63d8bb0452e0b33)
![{\displaystyle u^{(3)}-4u^{(2)}+u^{(1)}+6u=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57aba585db83ec8357f75fb6f855a34a85d0f2c0)
![{\displaystyle \lambda ^{3}-4\lambda ^{2}+\lambda +6=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4874d8612300b29453a0a470d4cebf2313d42090)
![{\displaystyle (\lambda +1)\cdot (\lambda -2)\cdot (\lambda -3)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da22dce1de142f15d9f4b06630b783e3ec0b6ca4)
![{\displaystyle u=C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{2x}+C_{3}e^{3x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a8d0fe7902ffb2fd01d244c785659b876ae8baf)
![{\displaystyle y=C_{1}\cdot {\frac {1}{x}}+C_{2}\cdot x^{2}+C_{3}\cdot x^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb2cab8c16c28bd0194a66d414245639a3af754d)