Pierwsznia

W matematyce, pierwsznia jest, stosowaną głównie w teorii liczb, funkcją ${\displaystyle \mathbb {N} \to \mathbb {N} }$^[1]. Wartość pierwszni dla liczby naturalnej ${\displaystyle n}$ jest oznaczana ${\displaystyle n\#}$.

Nazwa „pierwsznia” (ang. primorial), ukuta przez Harveya Dubnera, nawiązuje do liczb pierwszych w podobny sposób^[2], w jaki funkcja silnia (ang. factorial) odnosi się do iloczynu liczb naturalnych, które można rozkładać na czynniki pierwsze, dokonując faktoryzacji, otrzymując w efekcie ich zapis, w postaci iloczynu konkretnych liczb pierwszych, tworzących daną liczbę złożoną.

Definicja

Dokładniej, pierwsznia liczby naturalnej ${\displaystyle n\geqslant 2}$ jest równa

${\displaystyle n\#=\prod _{i=1}^{\pi (n)}p_{i}=p_{\pi (n)}\#,}$

gdzie ${\displaystyle \pi (n)}$ to funkcja licząca liczby pierwsze, a ${\displaystyle p_{i}}$ to ${\displaystyle i}$-ta liczba pierwsza. Innymi słowy, pierwsznia liczby ${\displaystyle n\geqslant 2}$ jest równa iloczynowi wszystkich liczb pierwszych nie większych niż ${\displaystyle n}$. Dodatkowo, przyjmuje się, że ${\displaystyle 0\#=1\#=1}$^[3]. Podobnie jak 0! = 1 — na mocy definicji.

Zobacz też

• Silnia

Przypisy