Oktawy Cayleya

Oktawy Cayleya, oktoniony (łac. octo – osiem), liczby Cayleya – rozszerzenie kwaternionów stanowiące niełączną algebrę. Opisało ją niezależnie dwóch matematyków: John T. Graves w roku 1843 i Arthur Cayley w roku 1845.

Oktoniony są trzecią z kolei po liczbach zespolonych i kwaternionach algebrą powstałą przez zastosowanie konstrukcji Cayleya-Dicksona do liczb rzeczywistych.

Są algebrą 8-wymiarowej przestrzeni liniowej nad ciałem liczb rzeczywistych. Z tego też powodu mogą być traktowane jako ośmioelementowe ciągi liczb rzeczywistych. Oktawa jest kombinacją liniową jedynki i 7 jednostek urojonych tworzących bazę standardową przestrzeni: 1, e1, e2, e3, e4, e5, e6 i e7. Gdzie e1...e7 podniesione do kwadratu dają −1. Działanie dodawania na oktawach jest równoważne dodawaniu wektorów 8-wymiarowej przestrzeni, natomiast działanie mnożenia definiuje poniższa tabela:

· 1 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7
1 1 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7
e1 e1 −1 e4 e7 –e2 e6 –e5 –e3
e2 e2 –e4 −1 e5 e1 –e3 e7 –e6
e3 e3 –e7 –e5 −1 e6 e2 –e4 e1
e4 e4 e2 –e1 –e6 −1 e7 e3 –e5
e5 e5 –e6 e3 –e2 –e7 −1 e1 e4
e6 e6 e5 –e7 e4 –e3 –e1 −1 e2
e7 e7 e3 e6 –e1 e5 –e4 –e2 −1

Kolejność w mnożeniu to wiersze (ei) – kolumny (ej). Stąd też:

e i e j = − e j e i = − e k {\displaystyle e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}=-e_{k}} dla i ≠ j {\displaystyle i\neq j}
e i e j = e k   →   e i ⊕ 1 e j ⊕ 1 = e k ⊕ 1   ∧   e 2 ⊙ i e 2 ⊙ j = e 2 ⊙ k {\displaystyle e_{i}e_{j}=e_{k}\ \to \ e_{i\oplus 1}e_{j\oplus 1}=e_{k\oplus 1}\ \wedge \ e_{2\odot i}e_{2\odot j}=e_{2\odot k}}

tu działania ⊕ ,   ⊙ {\displaystyle \oplus ,\ \odot } oznaczają:

  • a ⊕ b = ( a + b ) mod 8 = { a + b , jeśli  a + b ⩽ 7 a + b − 8 , jeśli  a + b > 7 {\displaystyle a\oplus b=(a+b){\bmod {8}}={\begin{cases}a+b,&{\text{jeśli }}a+b\leqslant 7\\a+b-8,&{\text{jeśli }}a+b>7\end{cases}}}
  • 2 ⊙ a = ( 2 a ) mod 8 = a ⊕ a {\displaystyle 2\odot a=(2a){\bmod {8}}=a\oplus a}

Obrazek przedstawia metodę mnożenia oktonionów. Porównanie z tabelką u góry może pomóc w jej zrozumieniu i zapamiętaniu.

Oktawy stanowią jedyną algebrę skończonego wymiaru nad ciałem liczb rzeczywistych z wykonalnym dzieleniem, w której mnożenie nie jest łączne, ale jest alternatywne (tj. łączne w algebrze tworzonej przez każde dwa z jej elementów).

Oktawy Cayleya zawierają w sobie algebry izomorficzne z:

  • liczbami rzeczywistymi,
  • liczbami zespolonymi,
  • kwaternionami.

Z drugiej strony można zanurzyć w następujących algebrach:

  • sedeniony

Zobacz też

  • liczba

Linki zewnętrzne

  • Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Octonion, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-03-07].
  • The Octonions – artykuł Johna C. Baeza
  • LCCN: sh2002008702
  • GND: 4745179-8
  • BnF: 15608111r
  • SUDOC: 122706331
  • J9U: 987007558916605171