Metoda Romberga

Metoda Romberga – jedna z metod całkowania numerycznego, opierająca się na metodzie ekstrapolacji Richardsona, pozwalająca przybliżać wartość całki:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx}$

nieznanej (jawnie) funkcji ${\displaystyle f.}$ Funkcja ta jest zazwyczaj znana tylko na dyskretnym zbiorze argumentów (np. jako wynik pomiarów stanu urządzenia (wartość funkcji) dla różnych stanów (argument funkcji)).

Niech dany będzie zbiór ${\displaystyle a=x_{0},x_{1},\dots ,x_{2^{i}}=b}$ dzielących przedział ${\displaystyle (a,b)}$ na ${\displaystyle 2^{i}}$ równych części taki, że znane są wartości funkcji ${\displaystyle f(x_{i})=y_{i}}$

Niech ${\displaystyle h_{i}={\frac {b-a}{2^{i}}},}$ oznacza długość kroku.

Metodę Romberga można opisać rekurencyjnie:

${\displaystyle {\begin{cases}R_{0,i}&:R_{2^{i}}=h_{i}\cdot \sum _{k=0}^{2^{i}-1}\left({\frac {f(x_{k})+f(x_{k+1})}{2}}\right)\\[1ex]\ R_{m,i}&:{\frac {4^{m}\cdot R_{m-1,i+1}-R_{m-1,i}}{4^{m}-1}}\end{cases}}.}$

${\displaystyle R_{0,i}}$ jest wzorem trapezów, po obliczeniu pierwszej kolumny tzw. tablicy Romberga, kolejne kolumny obliczane są rekurencyjnie, otrzymując coraz lepsze przybliżenie funkcji:

${\displaystyle R_{0,0}}$

${\displaystyle R_{0,1}}$ ${\displaystyle R_{1,0}}$

${\displaystyle R_{0,2}}$ ${\displaystyle R_{1,1}}$ ${\displaystyle R_{2,0}}$

${\displaystyle R_{0,3}}$ ${\displaystyle R_{1,2}}$ ${\displaystyle R_{2,1}}$ ${\displaystyle R_{3,0}}$

${\displaystyle \dots }$

Przykład wykorzystania metody Romberga

Załóżmy, że dane są wyniki pomiarów pewnej funkcji w punktach ${\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}$

${\displaystyle i}$	0	1	2	3	4
${\displaystyle x_{i}}$	0	0,25	0,5	0,75	1
${\displaystyle y_{i}}$	1	2	2	0	1

Dla tego przypadku:

• ${\displaystyle i=2,}$
• ${\displaystyle a=0,}$
• ${\displaystyle b=1,}$
• ${\displaystyle h_{0}={\frac {1-0}{1}}=1,}$
• ${\displaystyle h_{1}={\frac {1-0}{2}}=0{,}5,}$
• ${\displaystyle h_{2}={\frac {1-0}{2^{2}}}=0{,}25.}$

Ponieważ ${\displaystyle i=2}$ poszukiwana będzie tablica Romberga typu:

${\displaystyle R_{0,0},}$

${\displaystyle R_{0,1}}$ ${\displaystyle R_{1,0},}$

${\displaystyle R_{0,2}}$ ${\displaystyle R_{1,1}}$ ${\displaystyle R_{2,0}.}$

Obliczenie pierwszej kolumny tablicy Romberga:

${\displaystyle R_{0,0}=h_{0}\cdot \sum _{k=0}^{0}{\frac {f(x_{k})+f(x_{k+1})}{2}}={\frac {1+1}{2}}=1,}$

${\displaystyle R_{0,1}=h_{1}\cdot \sum _{k=0}^{1}{\frac {f(x_{k})+f(x_{k+1})}{2}}=0{,}5\cdot \left({\frac {1+2}{2}}+{\frac {2+1}{2}}\right)=1{,}5,}$

${\displaystyle R_{0,2}=h_{2}\cdot \sum _{k=0}^{3}{\frac {f(x_{k})+f(x_{k+1})}{2}}=0,25\cdot \left({\frac {1+2}{2}}+{\frac {2+2}{2}}+{\frac {2+0}{2}}\ +{\frac {0+1}{2}}\right)=1{,}25.}$

Oraz kolejnych wyrazów korzystając z poprzednich wyników:

${\displaystyle R_{1,0}={\frac {4^{1}\cdot R_{0,1}-R_{0,0}}{4^{1}-1}}={\frac {5}{3}}=1{,}666667,}$

${\displaystyle R_{1,1}={\frac {4^{1}\cdot R_{0,2}-R_{0,1}}{4^{1}-1}}={\frac {7}{6}}=1{,}166667,}$

${\displaystyle R_{2,0}={\frac {4^{2}\cdot R_{1,1}-R_{1,0}}{4^{2}-1}}={\frac {17}{15}}=1{,}133333.}$

Błąd metody Romberga

Oznaczając ${\displaystyle h_{n}={\tfrac {1}{2^{n}}}(b-a),}$ błąd, tj. przekłamanie wyniku otrzymanego metodą Romberga względem wyniku prawdziwego w notacji dużego O wynosi (Mysovskikh 2002)^[1]

${\displaystyle O\left(h_{n}^{2m+2}\right)}$ dla wyrazu R(n,m).

Przypisy