Baza ortonormalna

Baza ortonormalna – zbiór wektorów ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ w przestrzeni unitarnej ${\displaystyle H}$ z iloczynem skalarnym ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ o następujących własnościach^[1]:

• ${\displaystyle \|e\|^{2}=\langle e,e\rangle =1}$ dla każdego ${\displaystyle e\in {\mathcal {E}}}$ (tj. każdy element ma normę 1),
• ortogonalność: ${\displaystyle \langle e_{1},e_{2}\rangle =0}$ dla różnych ${\displaystyle e_{1},e_{2}\in {\mathcal {E}},}$
• domknięcie (w sensie topologii normowej) otoczki liniowej zbioru ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ jest całą przestrzenią ${\displaystyle H.}$

Pojęcie bazy ortonormalnej rozpatruje się najczęściej w kontekście przestrzeni Hilberta.

Przykłady

• Zbiór ${\displaystyle \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}}$ jest bazą ortonormalną przestrzeni euklidesowej ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$
• Zbiór ${\displaystyle \{(1,0,0,\dots ),(0,1,0,\dots ),(0,0,1,\dots )\}}$ jest bazą ortonormalną przestrzeni ${\displaystyle \ell _{2}}$ wszystkich ciągów liczbowych sumowalnych z kwadratem.
• Zbiór ${\displaystyle \{e^{2\pi in}\colon n\in \mathbb {Z} \}}$ jest bazą ortonormalną przestrzeni zespolonej ${\displaystyle L_{2}([0,1]).}$ Fakt ten jest podstawą teorii szeregów Fouriera.
• Bazą ortonormalną przestrzeni ${\displaystyle \ell _{2}(I),}$ gdzie ${\displaystyle I}$ jest dowolnym zbiorem, jest rodzina ${\displaystyle \{e_{i}\colon \,i\in I\},}$ gdzie:

${\displaystyle e_{i}(j)={\begin{cases}1&j=i\\0&j\neq i\end{cases}}.}$

Podstawowe wzory

Jeżeli ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ jest bazą ortonormalną przestrzeni ${\displaystyle H,}$ to dowolny wektor ${\displaystyle h}$ tej przestrzeni daje się zapisać w postaci:

${\displaystyle h=\sum _{e\in {\mathcal {E}}}\langle h,e\rangle e.}$

Z powyższej równości, nazywanej tożsamością Parsevala, wynika że baza ortonormalna jest bazą Schaudera.

Normę wektora ${\displaystyle h}$ można wyrazić za pomocą równości^[2]:

${\displaystyle \|h\|^{2}=\sum _{e\in {\mathcal {E}}}|\langle h,e\rangle |^{2}.}$

Równości te są prawdziwe również w przypadku, gdy ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ jest zbiorem nieprzeliczalnym, gdyż z definicji jedynie przeliczalnie wiele składników odpowiedniej sumy jest różnych od zera.

Przestrzeń Hilberta ${\displaystyle H}$ z bazą ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ jest izometrycznie izomorficzna z opisaną wyżej przestrzenią ${\displaystyle \ell _{2}(I),}$ gdzie ${\displaystyle I}$ jest dowolnym zbiorem równolicznym z ${\displaystyle {\mathcal {E}}.}$

Istnienie bazy ortonormalnej

Jeżeli ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ jest zbiorem wektorów parami ortogonalnych w przestrzeni Hilberta ${\displaystyle H,}$ to domknięcie powłoki liniowej zbioru ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ jest podprzestrzenią liniową ${\displaystyle H.}$ Zbiór ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ jest wówczas bazą ortogonalną dla tej podprzestrzeni.

Korzystając z lematu Kuratowskiego-Zorna, można uzasadnić^[1], że każda przestrzeń Hilberta ma bazę ortogonalną, a w konsekwencji ortonormalną. Dowolne dwie bazy ortogonalne jednej przestrzeni mają równą moc^[3]. Przestrzeń Hilberta jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy, gdy ma przeliczalną bazę ortogonalną^[4]. Istnieją przestrzenie unitarne bez bazy ortonormalnej^[5].

Ortogonalizacja

Każdy skończony lub przeliczalny układ wektorów liniowo niezależnych można zortogonalizować – to znaczy utworzyć inny układ wektorów, będących kombinacjami liniowymi wektorów danego układu w ten sposób, by nowy układ był już układem ortogonalnym. Typową metodą jest ortogonalizacja Grama-Schmidta^[1].

Przypisy

Bibliografia

• Paul Halmos: A Hilbert Space Problem Book. New York: Springer-Verlag, 1982, seria: Graduate Texts in Mathematics 19. ISBN 978-1-4684-9332-0.