Aksjomat Pascha

Aksjomat Pascha – aksjomat płaszczyzny euklidesowej niedający się wyprowadzić z pięciu aksjomatów Euklidesa:

Dane są na płaszczyźnie prosta l {\displaystyle l} i punkty P {\displaystyle P} i Q {\displaystyle Q} spoza l {\displaystyle l} takie, że odcinek P Q {\displaystyle PQ} przecina l . {\displaystyle l.} Jeśli R {\displaystyle R} jest kolejnym punktem poza l , {\displaystyle l,} to dokładnie jeden z odcinków R P {\displaystyle RP} lub R Q {\displaystyle RQ} przecina l {\displaystyle l\,{}} [a].

Inna postać aksjomatu[1]:

Prosta na płaszczyźnie, która nie przechodzi przez żaden z wierzchołków trójkąta i przecina jeden jego bok, przecina jeszcze drugi.

Aksjomat Pascha pozwala zdefiniować pojęcie półpłaszczyzny. W tym celu wprowadza się pojęcie leżenia dwóch punktów po jednej stronie prostej:

Punkty P , Q {\displaystyle P,Q} leżą po jednej stronie prostej l , {\displaystyle l,} jeśli odcinek P Q {\displaystyle PQ} jest rozłączny z prostą l {\displaystyle l} .

Tak zdefiniowana relacja jest relacją równoważności, której zwrotność i symetria są trywialne, zaś przechodniość tej relacji jest kontrapozycją aksjomatu Pascha.

Dowodzi się, że dla relacji leżenia po jednej stronie prostej istnieją dokładnie dwie klasy abstrakcji. Każdą z nich nazywa się półpłaszczyzną wyznaczoną przez daną prostą. Oczywiście z definicji, każda z tych półpłaszczyzn jest zbiorem wypukłym.

Aksjomat Pascha został sformułowany przez XIX-wiecznego matematyka Moritza Pascha w Vorlesungen übr neuere Geometrie, Lepizig 1882. David Hilbert w swojej aksjomatyce zalicza go do tzw. aksjomatów porządku.

Uwagi

  1. ↑ Tezę aksjomatu można sformułować w słabszej wersji: któryś z odcinków R P ,   R Q {\displaystyle RP,\ RQ} przecina l . {\displaystyle l.}

Przypisy

  1. ↑ aksjomat Pascha, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2022-12-03] .

Bibliografia

  • Jerzy Mioduszewski. Wykłady z topologii. Topologia przestrzeni euklidesowych. „Skrypty Uniwersytetu Śląskiego”. 501, 1994. Katowice: Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego. ISSN 0239-6432.