Kvadratkomplettering

Denne artikkelen mangler kildehenvisninger, og opplysningene i den kan dermed være vanskelige å verifisere. Kildeløst materiale kan bli fjernet. Helt uten kilder. (10. okt. 2015)

Kvadratkomplettering er en teknikk i algebra med det grunnleggende formål å redusere en variabel med et polynom av annen grad i en ligning eller i et matematisk uttrykk, slik at det fremkommer et lineært polynomisk uttrykk i annen potens. Med andre ord vil det si å skrive et andregradspolynom (polynom av andre grad) på kvadratisk form. På denne måten blir det i mange sammenhenger lettere å løse bestemte ligninger. Teknikken brukes blant annet for å løse andregradsligninger.

Avledning

Et andregradspolynom blir skrevet på kvadratisk form:

${\displaystyle x^{2}+px+q=\left(x+{\frac {p}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}+q}$.

Ved hjelp av en av kvadratsetningene utvikler vi leddet på høyre side i ligningen overfor og viser at dette er lik ligningens venstreledd:

${\displaystyle \left(x+{\frac {p}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}+q\ =x^{2}+2\cdot {\frac {px}{2}}+\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}+q=x^{2}+px+q.}$

Oversikt

Ved kvadratkomplettering omformes altså et andregradspolynom til et kvadrert lineært polynom og en konstant. Det betyr at et polynom av formen

${\displaystyle ax^{2}+bx\,\!}$

endres til et av formen

${\displaystyle (cx+d)^{2}+e\,\!}$

Legg merke til at koeffisientene a, b, c, d og e overfor selv kan være matematiske uttrykk og inneholde andre variabler enn x.

Vanlig formel

For

${\displaystyle ax^{2}+bx=(cx+d)^{2}+e\,\!}$

har vi

${\displaystyle c={\sqrt {a}}\,\!}$

${\displaystyle d={\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\,\!}$

${\displaystyle e=-d^{2}=-\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}\,\!}$

eller

${\displaystyle ax^{2}+bx=\left(x{\sqrt {a}}+{\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}\,\!}$

Eksempler

Eksempel 1

Et meget enkelt eksempel er:

${\displaystyle x^{2}+4x=x^{2}+4x+4-4=(x+2)^{2}-4\,\!}$

Eksempel 2

Et annet enkelt eksempel er å finne røttene av:

${\displaystyle {\begin{matrix}x^{2}+6x-16&=&0&\\x^{2}+6x&=&16&\\x^{2}+6x+({\frac {6}{2}})^{2}&=&16+({\frac {6}{2}})^{2}&*\\x^{2}+6x+9&=&16+9&\\(x+3)^{2}&=&25&\\(x+3)&=&{\sqrt {25}}&\\x+3&=&\pm 5&\\x&=&\pm 5-3&\\x&=&-8,2&\\\end{matrix}}}$

* kvadratkompletteringen

Eksempel 3

Si at man vil finne løsningen av ligningen ${\displaystyle x^{2}+3x-4=0}$. Man kan da anvende kvadratkomplettering:

${\displaystyle x^{2}+3x-4=\left(x+{\frac {3}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {3}{2}}\right)^{2}-4=\left(x+{\frac {3}{2}}\right)^{2}-{\frac {25}{4}}}$

sett overforstående lik null og løs:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\left(x+{\frac {3}{2}}\right)^{2}-{\frac {25}{4}}=0\\&{}\Leftrightarrow \left(x+{\frac {3}{2}}\right)^{2}={\frac {25}{4}}\\&{}\Leftrightarrow x+{\frac {3}{2}}=\pm {\frac {5}{2}}\\&{}\Leftrightarrow x=-{\frac {3}{2}}\pm {\frac {5}{2}}\\&{}\Leftrightarrow x=1~~\mathrm {eller} ~~x=-4\end{aligned}}}$

Eksempel 4

Betrakt problemer med å finne følgende integral:

${\displaystyle \int {\frac {dx}{9x^{2}-90x+241}}\,\!}$.

Det kan gjøres ved hjelp av kvadratkomplettering av nevneren. Nevneren er

${\displaystyle 9x^{2}-90x+241=9(x^{2}-10x)+241\,\!}$.

Når kvadratet kompletteres ved å legge (10/2)² = 25 til x² - 10x fås det perfekte kvadratet x² - 10x + 25 = (x - 5)². Derfor fås:

${\displaystyle 9(x^{2}-10x)+241=9(x^{2}-10x+25)+241-9(25)=9(x-5)^{2}+16\,\!}$.

Dermed er integralet

${\displaystyle \int {\frac {dx}{9x^{2}-90x+241}}={\frac {1}{9}}\int {\frac {dx}{(x-5)^{2}+(4/3)^{2}}}={\frac {1}{9}}\cdot {\frac {3}{4}}\arctan {\frac {3(x-5)}{4}}+C\,\!}$.

Eksempel 5

Som en generalisering av eksempel 2, kan røttene av

${\displaystyle x^{2}+bx+c=0\,\!}$

finnes ved å omforme ligningen slik at x og x² ikke lengre opptre. For å klare dette kompletteres kvadratet: ta halvdelen av koeffisienten til x, kvadrer den og legg den til på begge sider av likhetstegnet på følgende måte:

${\displaystyle {\begin{matrix}x^{2}+bx+c&=&0&\\x^{2}+bx&=&-c&\\x^{2}+bx+({\frac {b}{2}})^{2}&=&-c+({\frac {b}{2}})^{2}&*\\(x+{\frac {b}{2}})^{2}&=&({\frac {b}{2}})^{2}-c&\\(x+{\frac {b}{2}})&=&\pm {\sqrt {({\frac {b}{2}})^{2}-c}}&\\x&=&-{\frac {b}{2}}\pm {\sqrt {({\frac {b}{2}})^{2}-c}}&\end{matrix}}}$

* kvadratkomplettering

Eksempel 6 (den generelle andregradsligningen)

Eksempel 5 kan generaliseres ytterligere til å finne løsningene av den generelle andregradsligningen

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,\!}$

ettersom det først foretas kvadratkomplettering slik:

${\displaystyle {\begin{matrix}ax^{2}+bx+c&=&a\left(x^{2}+{\frac {bx}{a}}\right)+c\\&=&a\left(x^{2}+{\frac {bx}{a}}+\left({\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\right)\right)+c\\&=&a\left(x^{2}+{\frac {bx}{a}}+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\right)-a{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+c\\&=&a\left(x^{2}+2{\frac {bx}{2a}}+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\right)-a{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+c\\&=&a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-a{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+c\end{matrix}}\,\!}$.

hvorav

${\displaystyle {\begin{matrix}\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}&=&{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}\\x+{\frac {b}{2a}}&=&\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}}}\\x&=&\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}}}-{\frac {b}{2a}}\\&=&{\frac {\pm {\sqrt {4a^{2}({\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}})}}}{2a}}-{\frac {b}{2a}}\\&=&{\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\end{matrix}}\,\!}$

Komplekse versjoner av kvadratkomplettering

Betrakt uttrykket

${\displaystyle |z|^{2}-b^{*}z-bz^{*}+c,\,}$

der ${\displaystyle z}$ og ${\displaystyle b}$ er komplekse tall, ${\displaystyle z^{*}}$ og ${\displaystyle b^{*}}$ er de komplekse konjugasjonene av henholdsvis ${\displaystyle z}$ og ${\displaystyle b}$, og ${\displaystyle c}$ er et reelt tall. Dette kan uttrykkes på denne måten:

${\displaystyle |z-b|^{2}-|b|^{2}+c,\,}$

som klart er en virkelig mengde. Det er den fordi

${\displaystyle {\begin{matrix}|z-b|^{2}&=&(z-b)(z-b)^{*}\\&=&(z-b)(z^{*}-b^{*})\\&=&zz^{*}-zb^{*}-bz^{*}+bb^{*}\\&=&|z|^{2}-zb^{*}-bz^{*}+|b|^{2}\end{matrix}}}$

På samme måte kan uttrykket

${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+c,\,}$

der ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle y}$ og ${\displaystyle c}$ er reelle tall og ${\displaystyle a>0}$ samt ${\displaystyle b>0}$, uttrykkes ved kvadratet av den absolutte verdien av et komplekst tall. Defineres

${\displaystyle z={\sqrt {a}}x+i{\sqrt {b}}y,}$

slik

${\displaystyle {\begin{matrix}|z|^{2}&=&zz^{*}\\&=&({\sqrt {a}}x+i{\sqrt {b}}y)({\sqrt {a}}x-i{\sqrt {b}}y)\\&=&ax^{2}-i{\sqrt {a}}{\sqrt {b}}xy+i{\sqrt {b}}{\sqrt {a}}yx-i^{2}by^{2}\\&=&ax^{2}+by^{2}\end{matrix}}}$

, noe som gir

${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+c=|z|^{2}+c.\,}$

Bruk

Med kvadratkomplettering kan man lokalisere andregradspolynomets minste verdi:

${\displaystyle x^{2}+px+q=\underbrace {\left(x+{\frac {p}{2}}\right)^{2}} _{\geq 0}+\left(q-\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}\right)\geq q-\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}.}$

Denne ulikheten viser at den minste verdien ${\displaystyle q-(p/2)^{2}}$ antas ettersom tallet x er lik tallet ${\displaystyle -p/2}$.

Kvadratkomplettering kan også brukes på andre måter, eksempelvis for å skrive om følgende eksempel:

${\displaystyle x^{2}+2xy=(x+y)^{2}-y^{2}\,}$

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xy\,}$

Se også

• Kvadratsetningene