Diskriminant

I algebra kan diskriminanten (${\displaystyle \Delta }$) til et polynom si noe om polynomets røtter uten at man trenger å beregne dem. For eksempel diskriminanten til annengradspolynomet

${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$

er ${\displaystyle (r_{1}-r_{2})^{2}={\Big (}{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}-{\Big (}{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}{\Big )}{\Big )}^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{a^{2}}}}$

Siden nevneren alltid er positiv, er det tilstrekkelig med ${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac\ .}$

Hvis polynomets koeffisienter er reelle, vil diskriminanten være null når polynomet har én dobbeltrot; den vil være positiv når polynomet har to reelle røtter og den vil være negativ når polynomet har to kompleks konjugerte røtter.

Tredjegradspolynomet

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$

har diskriminanten ${\displaystyle \ b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd}$

Diskriminantene til høyere ordens polynomer er mye lengre. Diskriminanten til et fjerdegradspolynom har for eksempel 16 ledd,^[1] til et femtegradspolynom har den 59 ledd^[2] og til et sjettegradspolynom har den 246 ledd.^[3]

Diskriminanten uttrykt med røtter

Uttrykt med røtter vil diskriminanten være lik:

${\displaystyle a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}{(r_{i}-r_{j})^{2}}}$

der ${\displaystyle a_{n}}$ er koeffisientene foran og ${\displaystyle r_{1},\ ...\ r_{n}}$ er røttene til polynomet.

Referanser

Eksterne lenker

• Mathworld article
• Planetmath article