漸近展開

漸近展開（ぜんきんてんかい、英: Asymptotic expansion）とは、与えられた関数を、より簡単な形をした関数列の級数として近似することをいう。テイラー展開は漸近展開の特別な場合であるが、漸近展開で得られた級数の値は、必ずしも元の関数の値に収束するとは言えない。しかし、関数の性質を調べる際、元の関数の形では扱いが難しい場合、漸近展開によって元の関数を級数の形で近似することにより、関数の性質が得られることがある。漸近展開は解析学 (例えば複素解析[1]や特殊関数に対する数値解析[2]など) では重要な手法の一つであり、確率論の基礎として用いることがある[3]。

漸近級数

関数 f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} を定義域が実数の領域で定義された関数とし[注釈 1]、 x 0 {\displaystyle x_{0}} を f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} の定義域内の点とする。

関数列 { φ n ( x ) } n ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle \{\varphi _{n}(x)\}_{n\geq 0}} が次の条件を満たすとき、漸近関数列という。

  • φ n + 1 ( x ) = o ( φ n ( x ) )       ( x → x 0 )         ( n = 0 ,   1 ,   2 , … ) {\displaystyle \varphi _{n+1}(x)=o(\varphi _{n}(x))\ \ \ (x\to x_{0})\ \ \ \ (n=0,\ 1,\ 2,\ldots )}

実数列 { a n } n ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle \{a_{n}\}_{n\geq 0}} が存在して、任意の正整数 n に対し

f ( x ) − ∑ k = 0 n a k φ k ( x ) = o ( φ n ( x ) )           ( x → x 0 ) {\displaystyle f(x)-\sum _{k=0}^{n}a_{k}\varphi _{k}(x)=o(\varphi _{n}(x))\ \ \ \ \ (x\to x_{0})}

が成立するとき、

∑ k = 0 ∞ a k φ k ( x ) {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)}

を f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} の漸近級数といい、

f ( x ) ∼ ∑ k = 0 ∞ a k φ k ( x ) {\displaystyle f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)}

と表す。

さらに、漸近級数が次の条件を満たすとき、ポアンカレの意味での漸近級数または狭義の漸近級数という[4]。

  • 任意の正整数 n、 f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} の定義域内の x に対して
| f ( x ) − ∑ k = 0 n a k φ k ( x ) | < | a n + 1 φ n + 1 ( x ) | {\displaystyle \left|f(x)-\sum _{k=0}^{n}a_{k}\varphi _{k}(x)\right|<|a_{n+1}\varphi _{n+1}(x)|}
が成立する。

漸近関数列が { ( x − x 0 ) n } n ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle \{(x-x_{0})^{n}\}_{n\geq 0}} ( | x 0 | < ∞ ) {\displaystyle \scriptstyle (|x_{0}|<\infty )} または { x − n } n ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle \{x^{-n}\}_{n\geq 0}} ( | x 0 | = ∞ ) {\displaystyle \scriptstyle (|x_{0}|=\infty )} の形の漸近級数を、漸近冪級数という。

与えられた漸近関数列を用いて、 f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} の漸近級数を得ることを漸近展開といい、 f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} の漸近級数 ∑ k = 0 ∞ a k φ k ( x ) {\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)} が存在する場合、 f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} は漸近展開

f ( x ) ∼ ∑ k = 0 ∞ a k φ k ( x ) {\displaystyle f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)}

を持つという。

性質

一意性

任意の関数 f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} に対して、 f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} に対する漸近級数は存在しても唯一とは限らない。例えば

  • 1 / ( x − 1 ) ∼ ∑ k = 1 ∞ x − k         ( x → ∞ ) {\displaystyle 1/(x-1)\sim \sum _{k=1}^{\infty }x^{-k}\ \ \ \ (x\to \infty )}
  • 1 / ( x − 1 ) ∼ ∑ k = 1 ∞ ( x 2 + x + 1 ) x − 3 k         ( x → ∞ ) {\displaystyle 1/(x-1)\sim \sum _{k=1}^{\infty }(x^{2}+x+1)x^{-3k}\ \ \ \ (x\to \infty )}

しかし、与えられた漸近関数列に対する漸近級数は存在しても唯１つしか存在しない。従って、ある点でテイラー展開された冪級数は、その点での唯一の漸近冪級数である。

さらに、漸近級数の各係数は

a 0 = lim x → x 0 f ( x ) ,           a n = lim x → x 0 f ( x ) − ∑ k = 0 n − 1 a k φ k ( x ) φ n ( x )       ( n ≥ 1 ) {\displaystyle a_{0}=\lim _{x\to x_{0}}f(x),\ \ \ \ \ a_{n}=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}\varphi _{k}(x)}{\varphi _{n}(x)}}\ \ \ (n\geq 1)}

で与えられる。

和と積

点 x 0 {\displaystyle x_{0}} の近傍で定義された関数 f ( x ) ,   g ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x),\ g(x)} は、漸近関数列 { φ n ( x ) } n ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle \{\varphi _{n}(x)\}_{n\geq 0}} に対する漸近展開

f ( x ) ∼ ∑ k = 0 ∞ a k φ k ( x )           g ( x ) ∼ ∑ k = 0 ∞ b k φ k ( x )       ( x → x 0 ) {\displaystyle f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)\ \ \ \ \ g(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\varphi _{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})}

を持つとする。このとき、任意の α、β に対して

α f ( x ) + β g ( x ) ∼ ∑ k = 0 ∞ ( α a k + β b k ) φ k ( x )       ( x → x 0 ) {\displaystyle \alpha f(x)+\beta g(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }(\alpha a_{k}+\beta b_{k})\varphi _{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})}

が成立する。

さらに、漸近関数列が { φ ( x ) n } n ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle \{\varphi (x)^{n}\}_{n\geq 0}} ( φ ( x ) → ∞   ( x → x 0 ) ) {\displaystyle \scriptstyle (\varphi (x)\to \infty \ (x\to x_{0}))} である場合、

f ( x ) g ( x ) ∼ ∑ n = 0 ∞ c n φ ( x ) n       ( c n = ∑ k = 0 n a k b n − k )       ( x → x 0 ) {\displaystyle f(x)g(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}\varphi (x)^{n}\ \ \ (c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k})\ \ \ (x\to x_{0})}

が成立する。

項別微分

一般に、関数を無限級数で表したとき、項別微分した関数が元の関数を微分したものと一致しない様に、漸近級数も項別微分した級数は、元の関数を微分した関数の漸近展開になるとは限らない。 項別微分した関数が漸近展開したものにあるかは、元の関数や漸近関数列によって決まる。

漸近関数列 { φ n ( x ) } n ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle \{\varphi _{n}(x)\}_{n\geq 0}} は各 n に対して、 x 0 {\displaystyle x_{0}} の近傍で微分可能であり、関数列 { φ n ′ ( x ) } n ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle \{\varphi '_{n}(x)\}_{n\geq 0}} が漸近関数列である場合、以下のことが成立する。

f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} は、 x 0 {\displaystyle x_{0}} の近傍で微分可能であり、

f ( x ) ∼ ∑ k = 0 ∞ a k φ k ( x )       ( x → x 0 ) {\displaystyle f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})}

となる漸近展開を持ち、 f ′ ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f'(x)\!} が漸近関数列 { φ n ′ ( x ) } n ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle \{\varphi '_{n}(x)\}_{n\geq 0}} を用いて漸近展開することができるのであれば

f ′ ( x ) ∼ ∑ k = 0 ∞ a k φ k ′ ( x )       ( x → x 0 ) {\displaystyle f'(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi '_{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})}

が成立する。

項別積分

| x 0 | < ∞ {\displaystyle \scriptstyle |x_{0}|<\infty } とし、 f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} の漸近展開を

f ( x ) ∼ ∑ k = 0 ∞ a k φ k ( x )       ( x → x 0 ) {\displaystyle f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})}

とする。定積分

Φ n ( x ) = ∫ x 0 x φ n ( t ) d t {\displaystyle \Phi _{n}(x)=\int _{x_{0}}^{x}\varphi _{n}(t)dt}

が各 n に対して存在するならば、

F ( x ) = ∫ x 0 x f ( t ) d t {\displaystyle F(x)=\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt}

が存在して、

F ( x ) ∼ ∑ k = 0 ∞ a k Φ k ( x )       ( x → x 0 ) {\displaystyle F(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\Phi _{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})}

が成立する。

x 0 = ∞ {\displaystyle \scriptstyle x_{0}=\infty } のときは、漸近関数列によっては上式のままではうまくいかない。 例えば、漸近級数が漸近冪級数

f ( x ) ∼ ∑ k = 0 ∞ a k x k       ( x → ∞ ) {\displaystyle f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{x^{k}}}\ \ \ (x\to \infty )}

を持つ場合、

∫ x ∞ ( f ( t ) − a 0 − a 1 t ) d t ∼ ∑ k = 2 ∞ a k ( k − 1 ) x k − 1       ( x → ∞ ) {\displaystyle \int _{x}^{\infty }\left(f(t)-a_{0}-{\frac {a_{1}}{t}}\right)dt\sim \sum _{k=2}^{\infty }{\frac {a_{k}}{(k-1)x^{k-1}}}\ \ \ (x\to \infty )}

とする必要がある。

例

スターリングの公式の一般化

ガンマ関数は

Γ ( x + 1 ) ∼ 2 π x ( x e ) x ( 1 + 1 12 x + 1 288 x 2 − 139 51840 x 3 − ⋯ )       ( x → ∞ ) {\displaystyle \Gamma (x+1)\sim {\sqrt {2\pi x}}\left({\frac {x}{e}}\right)^{x}\left(1+{\frac {1}{12x}}+{\frac {1}{288x^{2}}}-{\frac {139}{51840x^{3}}}-\cdots \right)\ \ \ (x\to \infty )}

という漸近展開を持つ。特に、x が正整数のときは階乗の漸近展開を与え、スターリングの公式よりも精密な近似級数になっている[5]。

合流型超幾何関数

合流型超幾何関数 (en:confluent hypergeometric function):

1 F 1 ( α ; γ ; z ) := ∑ n = 0 ∞ ( α ) n ( γ ) n n ! z n , z ∈ C {\displaystyle _{1}F_{1}(\alpha ;\gamma ;z):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{n}}{(\gamma )_{n}\;n!}}z^{n},\quad z\in \mathbb {C} }

は次の漸近展開を持つ[6][7][8]。

1 F 1 ( α ; γ ; z ) ∼ Γ ( γ ) Γ ( γ − α ) ( exp ⁡ ( − i π ) z ) − α [ 1 + ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k ( α ) k ( α − γ + 1 ) k k ! 1 z k ] + Γ ( γ ) Γ ( α ) exp ⁡ ( z ) z α − γ [ 1 + ∑ k = 1 ∞ ( γ − α ) k ( 1 − α ) k k ! 1 z k ] , − π 2 < arg ⁡ ( z ) < 3 π 2 , | z | → ∞ . {\displaystyle _{1}F_{1}(\alpha ;\gamma ;z)\sim {\frac {\Gamma (\gamma )}{\Gamma (\gamma -\alpha )}}(\exp(-\mathrm {i} \pi )z)^{-\alpha }\left[1+\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(\alpha )_{k}(\alpha -\gamma +1)_{k}}{k!}}{\frac {1}{z^{k}}}\right]+{\frac {\Gamma (\gamma )}{\Gamma (\alpha )}}\exp(z)z^{\alpha -\gamma }\left[1+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(\gamma -\alpha )_{k}(1-\alpha )_{k}}{k!}}{\frac {1}{z^{k}}}\right],\quad -{\frac {\pi }{2}}<\arg(z)<{\frac {3\pi }{2}},\quad |z|\to \infty .}

arg {\displaystyle \arg } は複素数の偏角であり、 ( α ) k {\displaystyle (\alpha )_{k}} はポッホハマー記号[9]である。

誤差関数

誤差関数

erfc ⁡ ( x ) = 2 π ∫ x ∞ e − t 2 d t {\displaystyle \operatorname {erfc} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-t^{2}}dt}

は、以下の様な漸近展開を持つ[10]。

erfc ⁡ ( x ) ∼ e − x 2 π x (   1 − 1 2 x 2 + 1 ⋅ 3 2 2 x 4 − 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 3 x 6 + ⋯ )       ( x → ∞ ) {\displaystyle \operatorname {erfc} (x)\sim {\frac {e^{-x^{2}}}{{\sqrt {\pi }}x}}\left(\ 1-{\frac {1}{2x^{2}}}+{\frac {1\cdot 3}{2^{2}x^{4}}}-{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2^{3}x^{6}}}+\cdots \right)\ \ \ (x\to \infty )}

指数積分

指数積分

Ei ⁡ ( x ) = ∫ x ∞ e x − t t d t {\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=\int _{x}^{\infty }{\frac {e^{x-t}}{t}}dt}

の漸近展開は、

Ei ⁡ ( x ) ∼ ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n n ! x n + 1         ( x → ∞ ) {\displaystyle \operatorname {Ei} (x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!}{x^{n+1}}}\ \ \ \ (x\to \infty )}

で与えられる。

ラプラス変換

f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} を何回でも微分可能な関数としたとき、 f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} のラプラス変換

F ( x ) = ∫ 0 ∞ f ( t ) e − x t d t {\displaystyle F(x)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-xt}dt}

の漸近展開は、

F ( x ) ∼ ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) 1 x n + 1         ( x → ∞ ) {\displaystyle F(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }f^{(n)}(0){\frac {1}{x^{n+1}}}\ \ \ \ (x\to \infty )}

で与えられる。

微分方程式の解

微分方程式

x 2 y ″ + ( 3 x + 1 ) y ′ + y = 0 {\displaystyle x^{2}y''+(3x+1)y'+y=0\!}

の解は

y ( x ) = ∫ 0 ∞ e − t 1 + x t d t {\displaystyle y(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{1+xt}}dt}

で与えられ、

y ( x ) ∼ ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n n ! x n         ( x → 0 ) {\displaystyle y(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}n!x^{n}\ \ \ \ (x\to 0)} 。

という漸近展開を持つ。しかし、上式の右辺は任意の x ≠ 0 {\displaystyle \scriptstyle x\neq 0} で収束しないが[注釈 2]、右辺の級数は上記の微分方程式を満たす。

求積法等で厳密解を求めることが出来ない微分方程式に関しても、漸近展開によって近似解を得られる場合があり、これにより解の挙動を調べることができる。

調和級数

調和級数は

H n ∼ ln ⁡ n + γ + 1 2 n − ∑ k = 1 ∞ B 2 k 2 k n 2 k = ln ⁡ n + γ + 1 2 n − 1 12 n 2 + 1 120 n 4 − ⋯ , {\displaystyle H_{n}\sim \ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}}=\ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-\cdots ,}

という漸近展開を持つ[11]。ここで、 γ {\displaystyle \gamma } はオイラー・マスケローニ定数、 B k {\displaystyle B_{k}} はベルヌーイ数である。

脚注

[脚注の使い方]

注釈

  1. ^ 漸近展開は複素数の領域にも拡張することができるが、ここでは定義や結果等を簡単にするため、実数の領域に限定する。
  2. ^ 各 x に対して、最初の数項（項数は x に依存する）までの和を取れば、積分表示された解のいい近似を与える。

出典

  1. ^ Ablowitz, M. J., & Fokas, A. S. (2003). Complex variables: introduction and applications. en:Cambridge University Press.
  2. ^ Gil, A., Segura, J., & Temme, N. M. (2007). Numerical methods for special functions. en:Society for Industrial and Applied Mathematics.
  3. ^ 伏見 p. 22
  4. ^ 伏見 p. 27
  5. ^ 伏見 p. 24
  6. ^ 犬井鉄郎. 特殊関数. 岩波書店.
  7. ^ 時弘哲治. 工学における特殊関数. 共立出版.
  8. ^ functions.wolfram.com
  9. ^ Weisstein, Eric W. "Pochhammer Symbol." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PochhammerSymbol.html
  10. ^ Weisstein, Eric W. "Erf." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Erf.html
  11. ^ Sondow, Jonathan and Weisstein, Eric W. "Harmonic Number." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/HarmonicNumber.html

参考文献

和書

  • 大久保, 謙二郎、河野, 實彦『漸近展開』教育出版、東京〈シリーズ新しい応用の数学〉、1976年。ISBN 4316376306。 
  • ハイラー, E.、ワナー, G. 著、蟹江幸博 訳『解析教程』 上、シュプリンガー・フェアラーク東京、東京、1997a。ISBN 4431707506。 
  • ハイラー, E.、ワナー, G. 著、蟹江幸博 訳『解析教程』 下、シュプリンガー・フェアラーク東京、東京、1997b。ISBN 4431707514。 
  • 柴田, 正和『漸近級数と特異摂動法: 微分方程式の体系的近似解法』森北出版、東京、2009年。ISBN 9784627076310。 
  • 伏見康治「確率論及統計論」第I章　数学的補助手段 3節 漸近展開 ISBN 9784874720127 https://web.archive.org/web/20160327114852/http://ebsa.ism.ac.jp/ebooks/ebook/204

洋書

  • Bleistein, N., & Handelsman, R. A. (1986). Asymptotic expansions of integrals. Courier Corporation.
  • Bender, C. M., & Orszag, S. A. (2013). Advanced mathematical methods for scientists and engineers I: Asymptotic methods and perturbation theory. en:Springer Science & Business Media.
  • Ablowitz, M. J., & Fokas, A. S. (2003). Complex variables: introduction and applications. en:Cambridge University Press.
  • Carrier, G. F., Krook, M., & Pearson, C. E. (2005). Functions of a complex variable: Theory and technique . en:Society for Industrial and Applied Mathematics.
  • Erdélyi, A. (1956). Asymptotic expansions. Courier Corporation.
  • Olver, F. (1997). Asymptotics and special functions. AK Peters/CRC Press.
  • Dingle, R. B. (1973). Asymptotic expansions: their derivation and interpretation. London: en:Academic Press.

関連項目

典拠管理データベース: 国立図書館 ウィキデータを編集
  • フランス
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