極化恒等式を示すベクトル 数学 において、 極化恒等式 （きょくかこうとうしき）あるいは偏極恒等式 （へんきょくこうとうしき）（英語 : polarization identity ）とは、2つのベクトル の内積 をノルム線型空間 のノルム で表現する恒等式である。 ‖ x ‖ {\displaystyle \|x\|} x のノルム、 ⟨ x , y ⟩ {\displaystyle \langle x,\ y\rangle } x と y の内積とすると、フレシェ 、ノイマン 、ヨルダン による基本的定理は次のように記述される [1] [2]
ノルム空間 (V , ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\cdot \|} 中線定理 が成り立つならば、V にはすべての x ∈ V {\displaystyle x\in V} ‖ x ‖ 2 = ⟨ x , x ⟩ {\displaystyle \|x\|^{2}=\langle x,\ x\rangle } 恒等式 以下に示す様々な形の極化恒等式はすべて、この中線定理 に関連するものである。
2 ‖ u ‖ 2 + 2 ‖ v ‖ 2 = ‖ u + v ‖ 2 + ‖ u − v ‖ 2 . {\displaystyle 2\|{\textbf {u}}\|^{2}+2\|{\textbf {v}}\|^{2}=\|{\textbf {u}}+{\textbf {v}}\|^{2}+\|{\textbf {u}}-{\textbf {v}}\|^{2}.} 極化恒等式は、抽象代数学 や線形代数学 、関数解析学 といった様々な分野の表現に一般化できる。
実ベクトル空間の場合 V が実ベクトル空間の場合、内積は以下の極化恒等式で定義される。
⟨ x , y ⟩ = 1 4 ( ‖ x + y ‖ 2 − ‖ x − y ‖ 2 ) ∀ x , y ∈ V {\displaystyle \langle x,\ y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)\ \forall \ x,y\in V} 複素ベクトル空間の場合 V が複素ベクトル空間の場合、内積は以下の極化恒等式で与えられる。
⟨ x , y ⟩ = 1 4 ( ‖ x + y ‖ 2 − ‖ x − y ‖ 2 + i ‖ x − i y ‖ 2 − i ‖ x + i y ‖ 2 ) ∀ x , y ∈ V {\displaystyle \langle x,\ y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+i\|x-iy\|^{2}-i\|x+iy\|^{2}\right)\ \forall \ x,y\in V} ここで i {\displaystyle i} 虚数単位 である。 この式は、第一変数が反線形で、第二変数が線形である内積を定義することに注意せよ。 逆の定義を使用する規則では、以下のように複素共役を取る必要がある。
⟨ x , y ⟩ = 1 4 ( ‖ x + y ‖ 2 − ‖ x − y ‖ 2 − i ‖ x − i y ‖ 2 + i ‖ x + i y ‖ 2 ) ∀ x , y ∈ V {\displaystyle \langle x,\ y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}-i\|x-iy\|^{2}+i\|x+iy\|^{2}\right)\ \forall \ x,y\in V} 実ベクトル空間の他の表現 中線定理を使用して、他の表現を導出できる。
u ⋅ v = 1 2 ( ‖ u + v ‖ 2 − ‖ u ‖ 2 − ‖ v ‖ 2 ) ( 1 ) u ⋅ v = 1 2 ( ‖ u ‖ 2 + ‖ v ‖ 2 − ‖ u − v ‖ 2 ) ( 2 ) u ⋅ v = 1 4 ( ‖ u + v ‖ 2 − ‖ u − v ‖ 2 ) ( 3 ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}&={\frac {1}{2}}\left(\|{\textbf {u}}+{\textbf {v}}\|^{2}-\|{\textbf {u}}\|^{2}-\|{\textbf {v}}\|^{2}\right)&(1)\\[0.5em]{\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}&={\frac {1}{2}}\left(\|{\textbf {u}}\|^{2}+\|{\textbf {v}}\|^{2}-\|{\textbf {u}}-{\textbf {v}}\|^{2}\right)&(2)\\[0.5em]{\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}&={\frac {1}{4}}\left(\|{\textbf {u}}+{\textbf {v}}\|^{2}-\|{\textbf {u}}-{\textbf {v}}\|^{2}\right)&(3)\end{aligned}}} 定理 ノルム空間 (V , ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\cdot \|} 中線定理 が成り立つならば、 V にはすべての x ∈ V {\displaystyle x\in V} ‖ x ‖ 2 = ⟨ x , x ⟩ {\displaystyle \|x\|^{2}=\langle x,\ x\rangle }
証明 実ベクトル空間を考える。すると、極化恒等式から「内積」（と思われるもの）が得られる。
⟨ x , y ⟩ = 1 4 ( ‖ x + y ‖ 2 − ‖ x − y ‖ 2 ) ∀ x , y ∈ V {\displaystyle \langle x,\ y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)\ \forall \ x,y\in V} そこで、この「内積」が実際に内積の性質を満たし、この内積から導かれるノルムが (V , ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\cdot \|} ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\cdot \|}
⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
⟨ x , x ⟩ > 0 , x ∈ V ∖ { 0 } {\displaystyle \langle x,x\rangle >0,\quad x\in V\setminus \{\mathbf {0} \}} 定義式に y = x ≠ 0 {\displaystyle y=x\neq 0} ⟨ x , x ⟩ = 1 4 ( ‖ x + x ‖ 2 − ‖ x − x ‖ 2 ) = ‖ x ‖ 2 > 0 {\displaystyle \langle x,x\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+x\|^{2}-\|x-x\|^{2}\right)=\|x\|^{2}>0}
⟨ x , y ⟩ = ⟨ y , x ⟩ , x , y ∈ V {\displaystyle \langle x,y\rangle =\langle y,x\rangle ,\quad x,y\in V} ‖ x − y ‖ 2 = ‖ y − x ‖ 2 {\displaystyle \|x-y\|^{2}=\|y-x\|^{2}}
⟨ α x + z , y ⟩ = α ⟨ x , y ⟩ + ⟨ z , y ⟩ , x , y , z ∈ V {\displaystyle \langle \alpha x+z,y\rangle =\alpha \langle x,y\rangle +\langle z,y\rangle ,\quad x,y,z\in V} まず ⟨ − x , y ⟩ = − ⟨ x , y ⟩ {\displaystyle \langle -x,y\rangle =-\langle x,y\rangle }
⟨ − x , y ⟩ = 1 4 ( ‖ − x + y ‖ 2 − ‖ − x − y ‖ 2 ) = 1 4 ( ‖ x − y ‖ 2 − ‖ x + y ‖ 2 ) = − ⟨ x , y ⟩ {\displaystyle \langle -x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|-x+y\|^{2}-\|-x-y\|^{2}\right)={\frac {1}{4}}\left(\|x-y\|^{2}-\|x+y\|^{2}\right)=-\langle x,y\rangle } ‖ a ‖ = ‖ − a ‖ {\displaystyle \|a\|=\|-a\|}
ここで中線定理 を使用すると、次のことがわかる。
⟨ x , y ⟩ = 1 4 ( ‖ x + y ‖ 2 − ‖ x − y ‖ 2 ) = 1 2 ( ‖ x + y ‖ 2 − ‖ x ‖ 2 − ‖ y ‖ 2 ) = 1 2 ( ‖ x ‖ 2 + ‖ y ‖ 2 − ‖ x − y ‖ 2 ) ∀ x , y ∈ V {\displaystyle \langle x,\ y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)\ ={\frac {1}{2}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}\right)={\frac {1}{2}}\left(\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)\forall \ x,y\in V}
以降、必要に応じて、この3つの表現を使う。
α ≥ 0 {\displaystyle \alpha \geq 0} ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\cdot \|} ⟨ α x , y ⟩ − α ⟨ x , y ⟩ ≤ 0 {\displaystyle \langle \alpha x,y\rangle -\alpha \langle x,y\rangle \leq 0}
⟨ α x , y ⟩ − α ⟨ x , y ⟩ = 1 2 ( ‖ α x + y ‖ 2 − α 2 ‖ x ‖ 2 − ‖ y ‖ 2 + α ‖ x − y ‖ 2 − α ‖ x ‖ 2 − α ‖ y ‖ 2 ) ≤ 1 2 ( ( α ‖ x ‖ + ‖ y ‖ ) 2 − α 2 ‖ x ‖ 2 − ‖ y ‖ 2 + α ‖ x − y ‖ 2 − α ‖ x ‖ 2 − α ‖ y ‖ 2 ) = 1 2 ( α 2 ‖ x ‖ 2 + ‖ y ‖ 2 + 2 α ‖ x ‖ ‖ y ‖ − α 2 ‖ x ‖ 2 − ‖ y ‖ 2 + α ‖ x − y ‖ 2 − α ‖ x ‖ 2 − α ‖ y ‖ 2 ) = 1 2 α ( 2 ‖ x ‖ ‖ y ‖ + ‖ x − y ‖ 2 − ‖ x ‖ 2 − ‖ y ‖ 2 ) = 1 2 α ( ‖ x − y ‖ 2 − ( ‖ x ‖ − ‖ y ‖ ) 2 ) ≤ 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\langle \alpha x,y\rangle -\alpha \langle x,y\rangle &={\frac {1}{2}}\left(\|\alpha x+y\|^{2}-\alpha ^{2}\|x\|^{2}-\|y\|^{2}+\alpha \|x-y\|^{2}-\alpha \|x\|^{2}-\alpha \|y\|^{2}\right)\\[4pt]&\leq {\frac {1}{2}}\left(\left(\alpha \|x\|+\|y\|\right)^{2}-\alpha ^{2}\|x\|^{2}-\|y\|^{2}+\alpha \|x-y\|^{2}-\alpha \|x\|^{2}-\alpha \|y\|^{2}\right)\\[4pt]&={\frac {1}{2}}\left({\cancel {\alpha ^{2}\|x\|^{2}}}+{\cancel {\|y\|^{2}}}+2\alpha \|x\|\|y\|{\cancel {-\alpha ^{2}\|x\|^{2}}}-{\cancel {\|y\|^{2}}}+\alpha \|x-y\|^{2}-\alpha \|x\|^{2}-\alpha \|y\|^{2}\right)\\[4pt]&={\frac {1}{2}}\alpha \left(2\|x\|\|y\|+\|x-y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}\right)\\[4pt]&={\frac {1}{2}}\alpha \left(\|x-y\|^{2}-\left(\|x\|-\|y\|\right)^{2}\right)\\[4pt]&\leq 0\end{aligned}}} 大小関係には ( ‖ x ‖ − ‖ y ‖ ) 2 ≥ ‖ x − y ‖ 2 {\displaystyle \left(\|x\|-\|y\|\right)^{2}\geq \|x-y\|^{2}}
この性質は変数の組 x , − y {\displaystyle x,-y} x , y {\displaystyle x,y}
0 ≥ ⟨ α x , − y ⟩ − α ⟨ x , − y ⟩ = ⟨ − α x , y ⟩ − α ⟨ − x , y ⟩ = − ( ⟨ α x , y ⟩ − α ⟨ x , y ⟩ ) {\displaystyle {\begin{aligned}0&\geq \langle \alpha x,-y\rangle -\alpha \langle x,-y\rangle \\[4pt]&=\langle -\alpha x,y\rangle -\alpha \langle -x,y\rangle \\[4pt]&=-\left(\langle \alpha x,y\rangle -\alpha \langle x,y\rangle \right)\\[4pt]\end{aligned}}} したがって ⟨ α x , y ⟩ − α ⟨ x , y ⟩ ≥ 0 {\displaystyle \langle \alpha x,y\rangle -\alpha \langle x,y\rangle \geq 0} ⟨ α x , y ⟩ − α ⟨ x , y ⟩ = 0 ⇒ ⟨ α x , y ⟩ = α ⟨ x , y ⟩ {\displaystyle \langle \alpha x,y\rangle -\alpha \langle x,y\rangle =0\Rightarrow \langle \alpha x,y\rangle =\alpha \langle x,y\rangle }
α < 0 {\displaystyle \alpha <0} β = − α {\displaystyle \beta =-\alpha } β > 0 {\displaystyle \beta >0}
⟨ α x , y ⟩ = ⟨ − β x , y ⟩ = − ⟨ β x , y ⟩ = − β ⟨ x , y ⟩ = α ⟨ x , y ⟩ {\displaystyle \langle \alpha x,y\rangle =\langle -\beta x,y\rangle =-\langle \beta x,y\rangle =-\beta \langle x,y\rangle =\alpha \langle x,y\rangle }
次に ⟨ x + z , y ⟩ − ⟨ x , y ⟩ − ⟨ z , y ⟩ ≤ 0 {\displaystyle \langle x+z,y\rangle -\langle x,y\rangle -\langle z,y\rangle \leq 0}
⟨ x + z , y ⟩ − ⟨ x , y ⟩ − ⟨ z , y ⟩ = 1 2 ( ‖ x + y + z ‖ 2 − ‖ x + z ‖ 2 − ‖ y ‖ 2 + ‖ x − y ‖ 2 − ‖ x ‖ 2 − ‖ y ‖ 2 + ‖ z − y ‖ 2 − ‖ z ‖ 2 − ‖ y ‖ 2 ) ≤ 1 2 ( ( ‖ x + z ‖ + ‖ y ‖ ) 2 − ‖ x + z ‖ 2 − ‖ y ‖ 2 + ( ‖ x ‖ − ‖ y ‖ ) 2 − ‖ x ‖ 2 − ‖ y ‖ 2 + ( ‖ z ‖ − ‖ y ‖ ) 2 − ‖ z ‖ 2 − ‖ y ‖ 2 ) = 1 2 ( ‖ x + z ‖ 2 + ‖ y ‖ 2 + 2 ‖ x + z ‖ ‖ y ‖ − ‖ x + z ‖ 2 − ‖ y ‖ 2 + ‖ x ‖ 2 + ‖ y ‖ 2 − 2 ‖ x ‖ ‖ y ‖ − ‖ x ‖ 2 − ‖ y ‖ 2 + ‖ z ‖ 2 + ‖ y ‖ 2 − 2 ‖ z ‖ ‖ y ‖ − ‖ z ‖ 2 − ‖ y ‖ 2 ) = ‖ y ‖ ( ‖ x + z ‖ − ‖ x ‖ − ‖ z ‖ ) ≤ 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\langle x+z,y\rangle -\langle x,y\rangle -\langle z,y\rangle &={\frac {1}{2}}\left(\|x+y+z\|^{2}-\|x+z\|^{2}-\|y\|^{2}+\|x-y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}+\|z-y\|^{2}-\|z\|^{2}-\|y\|^{2}\right)\\[4pt]&\leq {\frac {1}{2}}\left(\left(\|x+z\|+\|y\|\right)^{2}-\|x+z\|^{2}-\|y\|^{2}+\left(\|x\|-\|y\|\right)^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}+\left(\|z\|-\|y\|\right)^{2}-\|z\|^{2}-\|y\|^{2}\right)\\[4pt]&={\frac {1}{2}}\left({\cancel {\|x+z\|^{2}}}+{\cancel {\|y\|^{2}}}+2\|x+z\|\|y\|-{\cancel {\|x+z\|^{2}}}-{\cancel {\|y\|^{2}}}+{\cancel {\|x\|^{2}}}+{\cancel {\|y\|^{2}}}-2\|x\|\|y\|-{\cancel {\|x\|^{2}}}-{\cancel {\|y\|^{2}}}+{\cancel {\|z\|^{2}}}+{\cancel {\|y\|^{2}}}-2\|z\|\|y\|-{\cancel {\|z\|^{2}}}-{\cancel {\|y\|^{2}}}\right)\\[4pt]&=\|y\|\left(\|x+z\|-\|x\|-\|z\|\right)\\[4pt]&\leq 0\end{aligned}}} 大小関係には ‖ x + z ‖ ≤ ‖ x ‖ + ‖ z ‖ {\displaystyle \|x+z\|\leq \|x\|+\|z\|}
上と同様に、 x , z , y {\displaystyle x,z,y} x , z , − y {\displaystyle x,z,-y} ⟨ x + z , y ⟩ − ⟨ x , y ⟩ − ⟨ z , y ⟩ ≥ 0 {\displaystyle \langle x+z,y\rangle -\langle x,y\rangle -\langle z,y\rangle \geq 0} ⟨ x + z , y ⟩ = ⟨ x , y ⟩ + ⟨ z , y ⟩ {\displaystyle \langle x+z,y\rangle =\langle x,y\rangle +\langle z,y\rangle }
ここで以上の等式を組み合わせると、 ⟨ α x + z , y ⟩ = ⟨ α x , y ⟩ + ⟨ z , y ⟩ = α ⟨ x , y ⟩ + ⟨ z , y ⟩ , x , y , z ∈ V {\displaystyle \langle \alpha x+z,y\rangle =\langle \alpha x,y\rangle +\langle z,y\rangle =\alpha \langle x,y\rangle +\langle z,y\rangle ,\quad x,y,z\in V} ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
最後に、内積 ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\cdot \|}
⟨ x , x ⟩ = 1 4 ( ‖ x + x ‖ 2 + ‖ x − x ‖ 2 ) = 1 4 ‖ 2 x ‖ 2 = ‖ x ‖ {\displaystyle {\sqrt {\langle x,x\rangle }}={\sqrt {{\frac {1}{4}}\left(\|x+x\|^{2}+\|x-x\|^{2}\right)}}={\sqrt {{\frac {1}{4}}\|2x\|^{2}}}=\|x\|}
ドット積への応用 余弦定理との関係 極化方程式の2番目の形式は、次のように記述できる。
‖ u − v ‖ 2 = ‖ u ‖ 2 + ‖ v ‖ 2 − 2 ( u ⋅ v ) {\displaystyle \|{\textbf {u}}-{\textbf {v}}\|^{2}=\|{\textbf {u}}\|^{2}+\|{\textbf {v}}\|^{2}-2({\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}})} これは、ベクトル u, v, u - v によって形成される三角形 における、余弦定理 のベクトル表現である。 特にベクトル u と v のなす角の角度を θ とすると、次のように記述できる。
u ⋅ v = ‖ u ‖ ‖ v ‖ cos θ {\displaystyle {\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}=\|{\textbf {u}}\|\,\|{\textbf {v}}\|\cos \theta } 導出 ノルムと内積の基本的な関係は、次の式で与えられる。
‖ v ‖ 2 = v ⋅ v {\displaystyle \|{\textbf {v}}\|^{2}={\textbf {v}}\cdot {\textbf {v}}} すると
‖ u + v ‖ 2 = ( u + v ) ⋅ ( u + v ) = ( u ⋅ u ) + ( u ⋅ v ) + ( v ⋅ u ) + ( v ⋅ v ) = ‖ u ‖ 2 + ‖ v ‖ 2 + 2 ( u ⋅ v ) {\displaystyle {\begin{aligned}\|{\textbf {u}}+{\textbf {v}}\|^{2}&=({\textbf {u}}+{\textbf {v}})\cdot ({\textbf {u}}+{\textbf {v}})\\[3pt]&=({\textbf {u}}\cdot {\textbf {u}})+({\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}})+({\textbf {v}}\cdot {\textbf {u}})+({\textbf {v}}\cdot {\textbf {v}})\\[3pt]&=\|{\textbf {u}}\|^{2}+\|{\textbf {v}}\|^{2}+2({\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}})\end{aligned}}} そして同様に
‖ u − v ‖ 2 = ‖ u ‖ 2 + ‖ v ‖ 2 − 2 ( u ⋅ v ) . {\displaystyle \|{\textbf {u}}-{\textbf {v}}\|^{2}=\|{\textbf {u}}\|^{2}+\|{\textbf {v}}\|^{2}-2({\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}).} 極化恒等式の形式（1）および（2）は、これらの方程式を u , v について解くことで導出される。一方、形式（3）は、これら2つの方程式を引くことで得られる （ちなみに、2つの方程式を加算すると中線定理が得られる ）。
一般化 ノルム 線形代数 では、以下の方程式による内積 で定義されたベクトル空間の すべてのノルム に対して、極化恒等式が適用される。
‖ v ‖ = ⟨ v , v ⟩ {\displaystyle \|v\|={\sqrt {\langle v,v\rangle }}} 上記の内積の場合で述べたように、実ベクトル u と v の場合、角度 θ は次のようにして導入できる[3]
⟨ u , v ⟩ = ‖ u ‖ ‖ v ‖ cos θ ; ( − π < θ ≤ π ) {\displaystyle \langle u,\ v\rangle =\|u\|\|v\|\cos \theta \ ;\ (-\pi <\theta \leq \pi )} 以下のコーシー・シュワルツの不等式 から、この定義が妥当であることがわかる。
| ⟨ u , v ⟩ | ≤ ‖ u ‖ ‖ v ‖ {\displaystyle |\langle u,\ v\rangle |\leq \|u\|\|v\|} この不等式により、上で定義した余弦の大きさは 1 以下になる。（角度 θ の適当な関数として）余弦関数を選ぶことで、 ⟨ u , v ⟩ = 0 {\displaystyle \langle u,\ v\rangle =0}
この場合、恒等式は次のようになる。
⟨ u , v ⟩ = 1 2 ( ‖ u + v ‖ 2 − ‖ u ‖ 2 − ‖ v ‖ 2 ) ⟨ u , v ⟩ = 1 2 ( ‖ u ‖ 2 + ‖ v ‖ 2 − ‖ u − v ‖ 2 ) ⟨ u , v ⟩ = 1 4 ( ‖ u + v ‖ 2 − ‖ u − v ‖ 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\langle u,v\rangle &={\frac {1}{2}}\left(\|u+v\|^{2}-\|u\|^{2}-\|v\|^{2}\right)\\[3pt]\langle u,v\rangle &={\frac {1}{2}}\left(\|u\|^{2}+\|v\|^{2}-\|u-v\|^{2}\right)\\[3pt]\langle u,v\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}\right)\end{aligned}}} 逆に、ベクトル空間のノルムが中線定理を満たす場合、上記の恒等式のいずれかを使用して矛盾なく内積を定義できる。 関数解析では、このような内積ノルムの導入は、 バナッハ空間 をヒルベルト空間 にするためによく使われる。
対称双線形形式 極化恒等式は内積に限定されるわけではない。B がベクトル空間上の対称双線形形式 であり、 Q が次で定義される二次形式 であるとする。
Q ( v ) = B ( v , v ) {\displaystyle Q(v)=B(v,v)} このとき
2 B ( u , v ) = Q ( u + v ) − Q ( u ) − Q ( v ) 2 B ( u , v ) = Q ( u ) + Q ( v ) − Q ( u − v ) 4 B ( u , v ) = Q ( u + v ) − Q ( u − v ) {\displaystyle {\begin{aligned}2B(u,v)&=Q(u+v)-Q(u)-Q(v)\\2B(u,v)&=Q(u)+Q(v)-Q(u-v)\\4B(u,v)&=Q(u+v)-Q(u-v)\end{aligned}}} いわゆる対称化写像 は、Q (v ) = B (v, …, v ) で定義された次数 k の斉次多項式で Q を置き換えることで後者の式を一般化する。ここで、 B は対称 k -線形写像である。
上の式は、 スカラーの体 が標数 2を持つ場合にも適用されるが、この場合左辺はすべてゼロとなる。結果、性質(2)に対応する二次形式での対称双線形形式の公式は存在しない。これらは実際に異なる概念であり、このことが L理論（英語版） で重要な結果をもたらす。簡単のため、この文脈では「対称双線形形式」は単に「対称形式」と呼ばれることが多い。
これらの式は、 可換環 上の加群 の双線形形式にも適用されるが、同様に B (u , v ) について解くことができるのは2が環で可逆である場合のみで、それ以外の場合は異なる概念となる[訳語疑問点 。たとえば、整数についていえば、より狭い概念である整二次形式 と整対称 形式の区別となる。
より一般に、環の対合が存在する場合、または2が可逆でない場合 [訳語疑問点 、 ε二次形式とε対称形式に区別される。対称形式は二次形式を定義し、二次形式から対称形式への（2の因数なしの）極化恒等式は「対称化写像」と呼ばれ、これは一般に同型ではない。 これは歴史的に微妙な違いだった。整数については、1950年代になって初めて「2なし」（整二次 形式）と「2つき」（整対称 形式）の関係が理解された（整二次形式 の説明を参照）。 手術（英語版） (surgery)の代数化では、ミシュチェンコ(Mishchenko)は元々、（ウォール(Wall)やラニツキ(Ranicki)のように）正しい二次L群 ではなく対称L群を 使用していた（L理論（英語版） での議論を参照）。
複素数 複素数 の線形代数ではふつう、 ⟨ v , u ⟩ {\displaystyle \langle v,u\rangle } ⟨ u , v ⟩ {\displaystyle \langle u,v\rangle } 複素共役 となるような半双線形形式 内積を用いる。この場合、標準的な極化恒等式は内積の実部のみに対して与えられる。
Re ⟨ u , v ⟩ = 1 2 ( ‖ u + v ‖ 2 − ‖ u ‖ 2 − ‖ v ‖ 2 ) Re ⟨ u , v ⟩ = 1 2 ( ‖ u ‖ 2 + ‖ v ‖ 2 − ‖ u − v ‖ 2 ) Re ⟨ u , v ⟩ = 1 4 ( ‖ u + v ‖ 2 − ‖ u − v ‖ 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Re} \langle u,v\rangle &={\frac {1}{2}}\left(\|u+v\|^{2}-\|u\|^{2}-\|v\|^{2}\right)\\[3pt]\operatorname {Re} \langle u,v\rangle &={\frac {1}{2}}\left(\|u\|^{2}+\|v\|^{2}-\|u-v\|^{2}\right)\\[3pt]\operatorname {Re} \langle u,v\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}\right)\end{aligned}}} Im ⟨ u , v ⟩ = Re ⟨ u , − i v ⟩ {\displaystyle \operatorname {Im} \langle u,v\rangle =\operatorname {Re} \langle u,-iv\rangle }
Im ⟨ u , v ⟩ = 1 2 ( ‖ u − i v ‖ 2 − ‖ u ‖ 2 − ‖ v ‖ 2 ) Im ⟨ u , v ⟩ = 1 2 ( ‖ u ‖ 2 + ‖ v ‖ 2 − ‖ u + i v ‖ 2 ) Im ⟨ u , v ⟩ = 1 4 ( ‖ u − i v ‖ 2 − ‖ u + i v ‖ 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Im} \langle u,v\rangle &={\frac {1}{2}}\left(\|u-iv\|^{2}-\|u\|^{2}-\|v\|^{2}\right)\\[3pt]\operatorname {Im} \langle u,v\rangle &={\frac {1}{2}}\left(\|u\|^{2}+\|v\|^{2}-\|u+iv\|^{2}\right)\\[3pt]\operatorname {Im} \langle u,v\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|u-iv\|^{2}-\|u+iv\|^{2}\right)\end{aligned}}} 高次の斉次多項式 最後に、これらのどの文脈でも、恒等式を任意の次数 の斉次多項式 （すなわち、 代数的形式 ）に拡張することができる。これは極化式（英語版） としても知られる（詳細は代数的形式の極化（英語版） の記事を参照）。
極化恒等式は、次のように表すことができる。
⟨ u , v ⟩ = 4 − 1 ∑ k = 0 3 i k ‖ u + i k v ‖ 2 {\displaystyle \langle u,v\rangle =4^{-1}\sum _{k=0}^{3}i^{k}\left\|u+i^{k}v\right\|^{2}} 参考文献 ^ Philippe Blanchard, Erwin Brüning (2003). “Proposition 14.1.2 (Fréchet–von Neumann–Jordan)”. Mathematical methods in physics: distributions, Hilbert space operators, and variational methods . Birkhäuser. p. 192. ISBN 0817642285. https://books.google.com/books?id=1g2rikccHcgC&pg=PA192 ^ Gerald Teschl (2009). “Theorem 0.19 (Jordan–von Neumann)”. Mathematical methods in quantum mechanics: with applications to Schrödinger operators . American Mathematical Society Bookstore. p. 19. ISBN 0-8218-4660-4. http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/ ^ Francis Begnaud Hildebrand (1992). “Equation 66, the natural definition”. Methods of applied mathematics (Reprint of Prentice-Hall 1965 2nd ed.). Courier Dover Publications. p. 24. ISBN 0-486-67002-3. https://books.google.com/books?id=17EZkWPz_eQC&pg=PA24 
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}&={\frac {1}{2}}\left(\|{\textbf {u}}+{\textbf {v}}\|^{2}-\|{\textbf {u}}\|^{2}-\|{\textbf {v}}\|^{2}\right)&(1)\\[0.5em]{\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}&={\frac {1}{2}}\left(\|{\textbf {u}}\|^{2}+\|{\textbf {v}}\|^{2}-\|{\textbf {u}}-{\textbf {v}}\|^{2}\right)&(2)\\[0.5em]{\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}&={\frac {1}{4}}\left(\|{\textbf {u}}+{\textbf {v}}\|^{2}-\|{\textbf {u}}-{\textbf {v}}\|^{2}\right)&(3)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0eaca1c97c6361cb0a8ca7826abe3599664153ab)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\langle \alpha x,y\rangle -\alpha \langle x,y\rangle &={\frac {1}{2}}\left(\|\alpha x+y\|^{2}-\alpha ^{2}\|x\|^{2}-\|y\|^{2}+\alpha \|x-y\|^{2}-\alpha \|x\|^{2}-\alpha \|y\|^{2}\right)\\[4pt]&\leq {\frac {1}{2}}\left(\left(\alpha \|x\|+\|y\|\right)^{2}-\alpha ^{2}\|x\|^{2}-\|y\|^{2}+\alpha \|x-y\|^{2}-\alpha \|x\|^{2}-\alpha \|y\|^{2}\right)\\[4pt]&={\frac {1}{2}}\left({\cancel {\alpha ^{2}\|x\|^{2}}}+{\cancel {\|y\|^{2}}}+2\alpha \|x\|\|y\|{\cancel {-\alpha ^{2}\|x\|^{2}}}-{\cancel {\|y\|^{2}}}+\alpha \|x-y\|^{2}-\alpha \|x\|^{2}-\alpha \|y\|^{2}\right)\\[4pt]&={\frac {1}{2}}\alpha \left(2\|x\|\|y\|+\|x-y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}\right)\\[4pt]&={\frac {1}{2}}\alpha \left(\|x-y\|^{2}-\left(\|x\|-\|y\|\right)^{2}\right)\\[4pt]&\leq 0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3831e3e6e7b4fa2a778c937905cec52c2e2159d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}0&\geq \langle \alpha x,-y\rangle -\alpha \langle x,-y\rangle \\[4pt]&=\langle -\alpha x,y\rangle -\alpha \langle -x,y\rangle \\[4pt]&=-\left(\langle \alpha x,y\rangle -\alpha \langle x,y\rangle \right)\\[4pt]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbe162a721629c3d66dcfcca08f4663eb428c9a4)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\langle x+z,y\rangle -\langle x,y\rangle -\langle z,y\rangle &={\frac {1}{2}}\left(\|x+y+z\|^{2}-\|x+z\|^{2}-\|y\|^{2}+\|x-y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}+\|z-y\|^{2}-\|z\|^{2}-\|y\|^{2}\right)\\[4pt]&\leq {\frac {1}{2}}\left(\left(\|x+z\|+\|y\|\right)^{2}-\|x+z\|^{2}-\|y\|^{2}+\left(\|x\|-\|y\|\right)^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}+\left(\|z\|-\|y\|\right)^{2}-\|z\|^{2}-\|y\|^{2}\right)\\[4pt]&={\frac {1}{2}}\left({\cancel {\|x+z\|^{2}}}+{\cancel {\|y\|^{2}}}+2\|x+z\|\|y\|-{\cancel {\|x+z\|^{2}}}-{\cancel {\|y\|^{2}}}+{\cancel {\|x\|^{2}}}+{\cancel {\|y\|^{2}}}-2\|x\|\|y\|-{\cancel {\|x\|^{2}}}-{\cancel {\|y\|^{2}}}+{\cancel {\|z\|^{2}}}+{\cancel {\|y\|^{2}}}-2\|z\|\|y\|-{\cancel {\|z\|^{2}}}-{\cancel {\|y\|^{2}}}\right)\\[4pt]&=\|y\|\left(\|x+z\|-\|x\|-\|z\|\right)\\[4pt]&\leq 0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0f3419185b30526a39b786db28a867c28c66307)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\|{\textbf {u}}+{\textbf {v}}\|^{2}&=({\textbf {u}}+{\textbf {v}})\cdot ({\textbf {u}}+{\textbf {v}})\\[3pt]&=({\textbf {u}}\cdot {\textbf {u}})+({\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}})+({\textbf {v}}\cdot {\textbf {u}})+({\textbf {v}}\cdot {\textbf {v}})\\[3pt]&=\|{\textbf {u}}\|^{2}+\|{\textbf {v}}\|^{2}+2({\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}})\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/542c8627e4d3fdc7b541d5172517bb42e4842c3a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\langle u,v\rangle &={\frac {1}{2}}\left(\|u+v\|^{2}-\|u\|^{2}-\|v\|^{2}\right)\\[3pt]\langle u,v\rangle &={\frac {1}{2}}\left(\|u\|^{2}+\|v\|^{2}-\|u-v\|^{2}\right)\\[3pt]\langle u,v\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eddaa935c5761fc09a112184251ba4b2f2e83b0)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Re} \langle u,v\rangle &={\frac {1}{2}}\left(\|u+v\|^{2}-\|u\|^{2}-\|v\|^{2}\right)\\[3pt]\operatorname {Re} \langle u,v\rangle &={\frac {1}{2}}\left(\|u\|^{2}+\|v\|^{2}-\|u-v\|^{2}\right)\\[3pt]\operatorname {Re} \langle u,v\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a2b741a378102a0de4246e1b517f8f98e1968c7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Im} \langle u,v\rangle &={\frac {1}{2}}\left(\|u-iv\|^{2}-\|u\|^{2}-\|v\|^{2}\right)\\[3pt]\operatorname {Im} \langle u,v\rangle &={\frac {1}{2}}\left(\|u\|^{2}+\|v\|^{2}-\|u+iv\|^{2}\right)\\[3pt]\operatorname {Im} \langle u,v\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|u-iv\|^{2}-\|u+iv\|^{2}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7c7bb3da13af9e6ed14833387346d768a45e049)
