曲率(きょくりつ、英: curvature)とは、曲線や曲面の曲がり具合を表す量である[1]。
例えば、半径 r の円周の曲率は 1/r であり、曲がり具合がきついほど曲率は大きくなる。この概念はより抽象的な図形である多様体においても用いられる。曲面上の曲線の曲率を最初に研究したのは、ホイヘンスとされ、ニュートンの貢献もさることながら、オイラーは曲率の研究に本格的に取り組んだ。その他モンジュ、ベルヌーイ、ムーニエなども研究した[2]。
曲線の曲率
定義
ある任意の曲線において、線上の点 P0 を基点とし、そこから曲線上の任意点 P(位置ベクトル rP で表されるとする)までの距離を s とする。(この場合の s は一般座標上の距離か曲線上の長さのいずれでもよい。)
このとき点 P の位置は、
のように、変数 s の関数として表すことができる。(以下、特に断らない限り rP = r とする。)
このとき、点 P で接する方向の単位ベクトル(これを tP とする)は、
となる。(位置ベクトルの変位分 Δr が十分小さいとき、|Δr| = Δs であるから、これは単位ベクトルである。)
同様に、 と表される点 Q を考えるとき、点 Q 上の単位接線ベクトル tQ は、
であり、二つの単位接線ベクトル tP 、tQ のなす角度を Δθ とすると、
である。
Δθが十分小さい、すなわち Δs が十分小さいとき、
と見做せる。
従って、接線傾斜 Δθ の変動率である χ を以下のように定義できる。
一般に χ を曲率、χ の逆数 R を曲率半径と言う。
また、特に曲線が高次のとき、Δs → 0 の極限で二つの接線によって決まる平面を、点 P における接触平面と言う。
性質
更に、t を s で微分すると、
が得られる。ここで n が主法線方向の単位ベクトルであり、主法線と接線は直交している。これは d r/ds が単位ベクトルのため、
となり、これを s について微分すると、
となるためである(ベクトル同士の内積がゼロとなるので、当該ベクトル同士は直交している)。
ベクトル t と n の外積、
で得られるベクトル b が陪法線方向の単位ベクトルとなる。陪法線は接触平面に対する法線となっている。
出典
[脚注の使い方]
- ^ "曲率". 百科事典マイペディア. コトバンクより2022年2月10日閲覧。
- ^ 小林昭七『曲線と曲面の微分幾何』裳華房、1977年8月20日。ISBN 4785311193。
関連項目
参考文献
- 小林昭七『曲線と曲面の微分幾何』(改訂版)裳華房、1995年。ISBN 978-4-7853-1091-2。http://www.shokabo.co.jp/mybooks/ISBN978-4-7853-1091-2.htm。
典拠管理データベース: 国立図書館 | |
---|