多項定理

数学における多項定理（たこうていり、英: multinomial theorem）とは、多項和 (multinomial) の冪を展開した式を表すものである。二項定理において項数を一般化したものである。

定理の主張

多項公式 (multinomial formula) とは、正整数 m, 非負整数 n に対して、m項和の任意の n-冪を展開すると

( x 1 + x 2 + ⋯ + x m ) n = ∑ k 1 + k 2 + ⋯ + k m = n ( n k 1 , k 2 , … , k m ) x 1 k 1 x 2 k 2 ⋯ x m k m {\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\textstyle \sum \limits _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{\dbinom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}{x_{2}}^{k_{2}}\dotsb {x_{m}}^{k_{m}}}

となることを示すものである。ここで係数 (n
k1, …, km) は多項係数と呼ばれ、

( n k 1 , k 2 , … , k m ) = n ! k 1 ! k 2 ! ⋯ k m ! {\displaystyle {\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}}

となる。また、k1, k2, …, km は非負整数であり、総和は k1 + k2 + … + km = n となるもの全てに亘って取る。従って、展開式の各項の次数は n となる。また、x0 はここでは、二項定理の場合と同様に、（x が零のときも含めて恒等的に）1 と定義している。

  • m = 2 のとき、主張は二項定理である。

多重添字記法を用いると、定理の主張は

( x 1 + ⋯ + x m ) n = ∑ | α | = n ( n α ) x α {\displaystyle (x_{1}+\cdots +x_{m})^{n}=\textstyle \sum \limits _{|\alpha |=n}{\dbinom {n}{\alpha }}x^{\alpha }}

略記できる。ここに、α = (α1, α2, …, αm), x = (x1, x2, …, xm) であって、xα = xα1
1 xα2
2⋅ ⋯ ⋅xαm
m および |α| = α1 + α2 + … + αm, α! = α1! α2! ⋅ … ⋅ αm! に対して (n
α) = n!/α! = |α|/α! である。

例えば、 ( a + b + c ) 3 {\displaystyle (a+b+c)^{3}} を展開すると、次のようになる：

( a + b + c ) 3 = ( a + b + c ) ( a + b + c ) ( a + b + c ) = a 3 + 3 a 2 + 3 a b 2 + 6 a b c + 3 a c 2 + b 3 + 3 b c 2 + c 3 {\displaystyle {\begin{aligned}(a+b+c)^{3}&=(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)\\&=a^{3}+3a^{2}+3ab^{2}+6abc+3ac^{2}+b^{3}+3bc^{2}+c^{3}\end{aligned}}}

証明

組合せ論的証明

二項定理の組合せ論的証明と同様に証明できる。

n個の (x1 + x1 + … + xm) の積を一度に展開し切ることを考える。

( x 1 + x 2 + ⋯ + x m ) n = ( x 1 + x 2 + ⋯ + x m ) ⋯ ( x 1 + x 2 + ⋯ + x m ) ⏟ n  factors {\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\underbrace {(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})\cdots (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})} _{n{\text{ factors}}}}

一度に展開すると、それぞれの (x1 + x1 + … + xm) から x1, …, xm の1つだけを取った文字 n個の総乗の総和となる。

これらの積のうち、並び替えて x1k1…xmkm (k1 + … + km = n) になるものは、k1個の x1、…、km個の xm を並べる場合の数だけあるから、多項係数 (n
k1, …, km)、すなわち x1k1…xmkm の係数は n!/k1!…km! となる。

指数について帰納法

二項定理と同様に、指数 n についての数学的帰納法で証明できる。

n =1 のとき、

( x 1 + x 2 + ⋯ + x m ) 1 = 1 x 1 + 1 x 2 + ⋯ + 1 x m , {\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{1}=1x_{1}+1x_{2}+\cdots +1x_{m},}
1 ! 1 ! 0 ! ⋯ 0 ! = 1 {\displaystyle {\frac {1!}{1!\,0!\,\cdots 0!}}=1}

より成り立つ。

ある n について成り立つと仮定する。

( x 1 + ⋯ + x m ) n = ∑ k 1 + ⋯ + k m = n ( n k 1 , ⋯ , k m ) x 1 k 1 ⋯ x m k m {\displaystyle (x_{1}+\cdots +x_{m})^{n}=\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n}{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}}

より、

= ( x 1 + ⋯ + x m ) n + 1 {\displaystyle {\hphantom {=}}\;(x_{1}+\cdots +x_{m})^{n+1}}
= ( x 1 + ⋯ + x m ) ( x 1 + ⋯ + x m ) n {\displaystyle =(x_{1}+\cdots +x_{m})(x_{1}+\cdots +x_{m})^{n}}
= ( x 1 + ⋯ + x m ) ∑ k 1 + ⋯ + k m = n ( n k 1 , ⋯ , k m ) x 1 k 1 ⋯ x m k m {\displaystyle =(x_{1}+\cdots +x_{m})\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n}{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}}
= x 1 ∑ k 1 + ⋯ + k m = n ( n k 1 , ⋯ , k m ) x 1 k 1 ⋯ x m k m + x m ∑ k 1 + ⋯ + k m = n ( n k 1 , ⋯ , k m ) x 1 k 1 ⋯ x m k m {\displaystyle =x_{1}\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n}{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}+x_{m}\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n}{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}}
= ∑ k 1 + ⋯ + k m = n ( n k 1 , ⋯ , k m ) x 1 k 1 + 1 x 2 k 2 ⋯ x m k m + ∑ k 1 + ⋯ + k m = n ( n k 1 , ⋯ , k m ) x 1 k 1 ⋯ x m − 1 k m − 1 x m k m + 1 {\displaystyle =\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n}{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}+1}{x_{2}}^{k_{2}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}+\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n}{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m-1}}^{k_{m-1}}{x_{m}}^{k_{m}+1}}
= ∑ k 1 + ⋯ + k m = n + 1 k 1 ≥ 1 ( n k 1 , ⋯ , k m ) x 1 k 1 ⋯ x m k m + ∑ k 1 + ⋯ + k m = n k m ≥ 1 ( n k 1 , ⋯ , k m ) x 1 k 1 ⋯ x m k m {\displaystyle =\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n+1 \atop k_{1}\geq 1}{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}+\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n \atop k_{m}\geq 1}{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}}
= ∑ k 1 + ⋯ + k m = n + 1 ( n k 1 − 1 , k 2 , ⋯ , k m ) x 1 k 1 ⋯ x m k m + ∑ k 1 + ⋯ + k m = n + 1 ( n k 1 , ⋯ , k m − 1 , k m − 1 ) x 1 k 1 ⋯ x m k m {\displaystyle =\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n+1}{\dbinom {n}{k_{1}-1,k_{2},\cdots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}+\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n+1}{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m-1},k_{m}-1}}{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}}
( ∵ ( n ⋯ , − 1 , ⋯ ) = 0 ) {\displaystyle \left(\because {\binom {n}{\cdots ,-1,\cdots }}=0\right)}
= ∑ k 1 + ⋯ + k m = n + 1 [ ( n k 1 − 1 , k 2 , ⋯ , k m ) + ⋯ + ( n k 1 , ⋯ , k m − 1 , k m − 1 ) ] x 1 k 1 ⋯ x m k m {\displaystyle =\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n+1}\left[{\dbinom {n}{k_{1}-1,k_{2},\cdots ,k_{m}}}+\cdots +{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m-1},k_{m}-1}}\right]{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}}
= ∑ k 1 + ⋯ + k m = n + 1 ( n + 1 k 1 , ⋯ , k m ) x 1 k 1 ⋯ x m k m {\displaystyle =\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n+1}{\dbinom {n+1}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}}

最後の等号は

( n + 1 k 1 , ⋯ , k m ) = ( n k 1 − 1 , k 2 , ⋯ , k m ) + ⋯ + ( n k 1 , ⋯ , k m − 1 , k m − 1 ) {\displaystyle {\dbinom {n+1}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}={\dbinom {n}{k_{1}-1,k_{2},\cdots ,k_{m}}}+\cdots +{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m-1},k_{m}-1}}}

が成り立つことを用いたが、これは右辺の階乗表示：

n ! ( k 1 − 1 ) ! k 2 ! ⋯ k m − 1 ! + ⋯ n ! k 1 ! ⋯ k m − 1 ! ( k m − 1 ) ! {\displaystyle {\frac {n!}{(k_{1}-1)!k_{2}!\cdots k_{m-1}!}}+\cdots {\frac {n!}{k_{1}!\cdots k_{m-1}!(k_{m}-1)!}}}

を通分すると左辺になることが示せる。

項数について帰納法

二項定理を既知とすると、項数 m について数学的帰納法により証明できる。

まず m = 1 のとき、k1 = n であり両辺は単項で x1n に等しい。

次に、m に対して多項定理が成り立つと仮定する。

( x 1 + x 2 + ⋯ + x m + x m + 1 ) n = ( x 1 + x 2 + ⋯ + x m − 1 + ( x m + x m + 1 ) ) n {\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m}+x_{m+1})^{n}=(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m-1}+(x_{m}+x_{m+1}))^{n}}

に帰納法の仮定を適用して

= ∑ k 1 + k 2 + ⋯ + k m − 1 + K = n ( n k 1 , k 2 , … , k m − 1 , K ) x 1 k 1 x 2 k 2 ⋯ x m − 1 k m − 1 ( x m + x m + 1 ) K = ∑ k 1 + k 2 + ⋯ + k m − 1 + K = n ( ( n k 1 , k 2 , … , k m − 1 , K ) x 1 k 1 x 2 k 2 ⋯ x m − 1 k m − 1 ∑ k m + k m + 1 = K ( K k m , k m + 1 ) x m k m x m + 1 k m + 1 ) ( binomial theorem ) = ∑ k 1 + k 2 + ⋯ + k m − 1 + K = n ∑ k m + k m + 1 = K ( n k 1 , k 2 , … , k m − 1 , K ) ( K k m , k m + 1 ) x 1 k 1 x 2 k 2 ⋯ x m − 1 k m − 1 x m k m x m + 1 k m + 1 = ∑ k 1 + k 2 + ⋯ + k m − 1 + k m + k m + 1 = n ( n k 1 , k 2 , … , k m − 1 , k m , k m + 1 ) x 1 k 1 x 2 k 2 ⋯ x m − 1 k m − 1 x m k m x m + 1 k m + 1 ( refer the below described Annotation ) {\displaystyle {\begin{aligned}&=\textstyle \sum \limits _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+K=n}{\dbinom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}}{x_{1}}^{k_{1}}{x_{2}}^{k_{2}}\cdots {x_{m-1}}^{k_{m-1}}(x_{m}+x_{m+1})^{K}\\&=\textstyle \sum \limits _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+K=n}\left({\dbinom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}}{x_{1}}^{k_{1}}{x_{2}}^{k_{2}}\cdots {x_{m-1}}^{k_{m-1}}\sum \limits _{k_{m}+k_{m+1}=K}{\dbinom {K}{k_{m},k_{m+1}}}{x_{m}}^{k_{m}}{x_{m+1}}^{k_{m+1}}\right)\\&({\text{binomial theorem}})\\&=\textstyle \sum \limits _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+K=n}\sum \limits _{k_{m}+k_{m+1}=K}{\dbinom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}}{\dbinom {K}{k_{m},k_{m+1}}}{x_{1}}^{k_{1}}{x_{2}}^{k_{2}}\cdots {x_{m-1}}^{k_{m-1}}{x_{m}}^{k_{m}}{x_{m+1}}^{k_{m+1}}\\&=\textstyle \sum \limits _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+k_{m}+k_{m+1}=n}{\dbinom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},k_{m},k_{m+1}}}{x_{1}}^{k_{1}}{x_{2}}^{k_{2}}\cdots {x_{m-1}}^{k_{m-1}}{x_{m}}^{k_{m}}{x_{m+1}}^{k_{m+1}}\\&({\text{refer the below described Annotation}})\\\end{aligned}}}

を得る。最後の等号は

( n k 1 , k 2 , … , k m − 1 , K ) ( K k m , k m + 1 ) = ( n k 1 , k 2 , … , k m − 1 , k m , k m + 1 ) {\displaystyle {\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}}{\binom {K}{k_{m},k_{m+1}}}={\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},k_{m},k_{m+1}}}}

が成り立つことを用いたが、これは例えば階乗による表示を用いれば

n ! k 1 ! k 2 ! ⋯ k m − 1 ! K ! K ! k m ! k m + 1 ! = n ! k 1 ! k 2 ! ⋯ k m + 1 ! {\displaystyle {\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m-1}!K!}}{\frac {K!}{k_{m}!k_{m+1}!}}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m+1}!}}}

と示せる。

応用例

一般ライプニッツ則

3個以上の函数の積の高階導函数に対しても、一般のライプニッツの法則を適用することができる：

  • ( f 1 ⋯ f m ) ( n ) = ∑ k 1 + ⋯ + k m = n ( n k 1 , ⋯ , k m ) f 1 ( k 1 ) ⋯ f m ( k m ) {\displaystyle (f_{1}\cdots f_{m})^{(n)}=\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n}{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}{f_{1}}^{(k_{1})}\cdots {f_{m}}^{(k_{m})}}

参考文献

関連項目

外部リンク

  • 『多項定理の例題と2通りの証明』 - 高校数学の美しい物語
  • mutinom.m function in Specfun (since 1.1.0) package of Octave-Forge for GNU Octave. SVN version
  • Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Multinomial coefficient”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Multinomial_coefficient