ヘテロクリニック軌道

x'' + sin x = 0　の相図(phase portrait)。赤いラインが(x, x') = (−π, 0) から(x, x') = (π, 0)へのヘテロクリニック軌道。この軌道は、（紐ではない、固くて軽い棒で出来た）振り子が、無限の時間をかけて動きだし、一周して無限の時間をかけて止まる軌道を表している。

力学系において、ヘテロクリニック軌道とは、二つの不動点をつなぐ解軌道である。 同じ不動点の場合は、ホモクリニック軌道である。

微分方程式系での定義

x ˙ = f ( x ) {\displaystyle {\dot {x}}=f(x)}

で定義された連続力学系を考える。

x = x 0 {\displaystyle x=x_{0}} と x = x 1 {\displaystyle x=x_{1}} が不動点であり、解 ϕ ( t ) {\displaystyle \phi (t)} が次を満たすならば、ヘテロクリニック軌道である。

ϕ ( t ) → x 0 a s t → − ∞ {\displaystyle \phi (t)\rightarrow x_{0}\quad \mathrm {as} \quad t\rightarrow -\infty }

かつ

ϕ ( t ) → x 1 a s t → + ∞ {\displaystyle \phi (t)\rightarrow x_{1}\quad \mathrm {as} \quad t\rightarrow +\infty }

これは、解軌道が x 1 {\displaystyle x_{1}} の安定多様体と x = x 0 {\displaystyle x=x_{0}} の不安定多様体に吹き生まれることを意味している。

関連項目

  • ヘテロクリニック分岐