ウィーンの変位則

各温度における黒体輻射のエネルギー密度の波長ごとのスペクトル

ウィーンの変位則（ウィーンのへんいそく、英: Wien's displacement law）とは、黒体からの輻射のピークの波長が温度に反比例するという法則である。

ヴィルヘルム・ヴィーンによって発見された。

なお、ヴィーンはドイツの物理学者であるため「ヴィーン」が正しい名称となるが、慣習的に英語読みのウィーンの変位則と呼ばれることも多い。

関係式

λ max = b T {\displaystyle \lambda _{\text{max}}={\frac {b}{T}}}

ここで T は黒体の温度(K)、λmax はピーク波長(m)、b は比例定数であり、

その値は

b = {\displaystyle b=} 2.897771955...×10−3 m⋅K

である[1]。

例

物体の温度が高ければ、放射される波長は短くなる。例えば、太陽の表面温度 5780 K の場合ピーク波長は 500 nm にある。 白熱電球をみると、温度の低い時、黄色っぽい光になりさらに温度が低い時赤くみえる（色温度も参照）。

導出

ヴィルヘルム・ヴィーンによって発見されたが、プランクの式から導くことができる。

プランクの式によると、黒体輻射の分光エネルギー密度 u は次式で表される：

u ( λ , T ) = 8 π h c λ 5 1 e h c / λ k T − 1 {\displaystyle u(\lambda ,T)={\frac {8\pi hc}{\lambda ^{5}}}\,{\frac {1}{e^{hc/\lambda kT}-1}}}

波長の最大値 λmax を求めるために、波長分布 u(λ) を λ で偏微分して、0 になる波長を求めればよい。

∂ u ( λ m a x , T ) ∂ λ = 8 π h c ( h c k T λ max 7 exp ⁡ ( h c / λ max k T ) ( exp ⁡ ( h c / λ max k T ) − 1 ) 2 − 1 λ m a x 6 5 exp ⁡ ( h c / λ max k T ) − 1 ) = 0 ∴ h c λ m a x k T 1 1 − exp ⁡ ( − h c / λ max k T ) − 5 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial u(\lambda _{\mathrm {max} },T)}{\partial \lambda }}=8\pi hc\left({\frac {hc}{kT\lambda _{\text{max}}^{7}}}{\frac {\exp(hc/\lambda _{\text{max}}kT)}{\left(\exp(hc/\lambda _{\text{max}}kT)-1\right)^{2}}}-{\frac {1}{\lambda _{\mathrm {max} }^{6}}}{\frac {5}{\exp(hc/\lambda _{\text{max}}kT)-1}}\right)=0\\\therefore {\frac {hc}{\lambda _{\mathrm {max} }kT}}\,{\frac {1}{1-\exp(-hc/\lambda _{\text{max}}kT)}}-5=0\end{aligned}}}

ここで x = hc/λmaxkT とすると、

x 1 − e − x − 5 = 0 {\displaystyle {\frac {x}{1-e^{-x}}}-5=0}

となる。この解はランベルトのW関数で、

x = W ( − 5 e − 5 ) + 5 ≈ 4.965114231744276 {\displaystyle x=W(-5e^{-5})+5\approx 4.965114231744276}

と表される。x から λmax を求めると、

λ max = h c x k T = b T , b = h c x k ≈ 2.897   772 × 10 − 3   m K {\displaystyle \lambda _{\text{max}}={\frac {hc}{xkT}}={\frac {b}{T}},\quad b={\frac {hc}{xk}}\approx 2.897~772\times 10^{-3}~{\text{m K}}}

を得る。

別の導出

振動数で表示されたプランクの公式

R ( ν ) = 8 π h c 3 ν 3 e h ν / k T − 1 {\displaystyle R(\nu )={\frac {8\pi h}{c^{3}}}{\frac {\nu ^{3}}{e^{h\nu /kT}-1}}}

を用いても、同様の導出が可能である。この場合、x = hνmax/kT は

( 3 − x ) e x = 3 {\displaystyle \left(3-x\right)e^{x}=3}

の解で、

x = W ( − 3 e − 3 ) + 3 ≈ 2.8214 {\displaystyle x=W(-3e^{-3})+3\approx 2.8214}

となる。したがってピークにおける振動数は

ν m a x = x k h T , x k h = 5.878   925   757 ... × 10 10   Hz / K {\displaystyle \nu _{\mathrm {max} }={\frac {xk}{h}}T,\quad {\frac {xk}{h}}=5.878~925~757{\text{...}}\times 10^{10}~{\text{Hz}}/{\text{K}}}

となる。 λ m a x ν m a x = c {\displaystyle \lambda _{\mathrm {max} }\nu _{\mathrm {max} }=c} ではないことに注意が必要である。

脚注

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出典
  1. ^ “CODATA 2018, Wien wavelength displacement law constant”. NIST. 2022年3月6日閲覧。

関連項目