Teorema del passo montano

Il teorema del passo montano è un importante risultato in calcolo delle variazioni che dimostra, sotto certe ipotesi, l'esistenza di punti di sella per i funzionali. Tale teorema è spesso usato per dimostrare l'esistenza di soluzioni di equazioni differenziali o per dimostrare la non unicità di tali soluzioni.^[1]

Sia ${\displaystyle E}$ uno spazio di Banach e sia ${\displaystyle J\colon E\to \mathbb {R} }$ un funzionale di classe ${\displaystyle C^{1}}$ che soddisfa la condizione di Palais-Smale (formulazione forte). Siano ${\displaystyle u_{0}}$ e ${\displaystyle u_{1}}$ in ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle c_{0}\in \mathbb {R} }$ e ${\displaystyle R>0}$ tale che

1. ${\displaystyle \Vert u_{0}-u_{1}\Vert >R}$;
2. per ogni ${\displaystyle v\in E}$ tale che ${\displaystyle \Vert u_{0}-v\Vert =R,}$ ${\displaystyle \max\{J(u_{0}),J(u_{1})\}<c_{0}\leq J(v)}$.

Allora, ${\displaystyle J}$ ha un valore critico ${\displaystyle c\geq c_{o}}$, definito da ${\displaystyle c=\inf _{\gamma \in {\mathcal {P}}}\max _{t\in [0,1]}J(\gamma (t)),}$ dove ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ è l'insieme di tutte le curve continue , ovvero ${\displaystyle {\mathcal {P}}=\{\gamma \colon [0,1]\to E|\gamma (0)=u_{0}\;{\textit {e}}\;\gamma (1)=u_{1}\}}$.^[2][3]

Siccome ogni curva ${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to E}$ tale che ${\displaystyle \gamma (0)=u_{0}}$ e ${\displaystyle \gamma (1)=u_{1}}$, per l'ipotesi 1, deve attraversare la sfera ${\displaystyle \{v\in E|\Vert v-u_{0}\Vert =R\}}$, si ha che ${\displaystyle c\geq c_{0}}$. Assumiamo per assurdo che ${\displaystyle c}$ non sia un valore critico. Allora, possiamo trovare ${\displaystyle \varepsilon _{0}>0}$ e un flusso ${\displaystyle \eta }$ come quello nel lemma di deformazione tale che per ogni ${\displaystyle 0<\varepsilon <\varepsilon _{0}}$ si ha ${\displaystyle \eta (1,{J^{-1}((-\infty ,c+\varepsilon ])})\subset \{J^{-1}((-\infty ,c-\varepsilon ])\}}$. Preso ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ tale che ${\displaystyle \max\{J(u_{0}),J(u_{1})\}<c-\varepsilon _{0}}$ e posto ${\displaystyle \zeta (t)=\eta (1,\gamma (t))}$, allora ${\displaystyle \max _{t\in [0,1]}J(\zeta (t))\leq c-\varepsilon }$.

Allora, ${\displaystyle \zeta (0)=\eta (1,u_{0})=u_{0}}$ e ${\displaystyle \zeta (1)=\eta (1,u_{1})=u_{1}}$ (vedi proprietà 3 del lemma della deformazione). Per quanto detto ${\displaystyle \zeta \in {\mathcal {P}}}$ ma il fatto che ${\displaystyle \max _{t\in [0,1]}J(\zeta (t))\leq c-\varepsilon }$ contraddice la definizione di ${\displaystyle c}$.

Il teorema può essere visualizzato con la metafora di un passo di montagna (da cui il nome al teorema). Partendo da un punto ${\displaystyle u_{0}}$ circondato da monti (punti che hanno altezza maggiore del punto in cui ci si trova) e camminando per raggiungere un punto ${\displaystyle u_{1}}$ fuori dalla catena montuosa, dovendo prima salire e poi scendere, si incontrerà necessariamente un punto critico. In base al teorema, il punto critico trovato è sempre un punto di sella. Questo rende il teorema piuttosto singolare, dato che la maggior parte dei teoremi di esistenza di punti critici riguardano punti di minimo e/o massimo.

• Srinivasan Kesavan, Nonlinear functional analysis: a first course, Springer, 2004.

• Calcolo delle variazioni

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