Spinore di Dirac

In fisica lo spinore di Dirac è un "vettore" a quattro componenti ma non è un quadrivettore poiché non si trasforma come tale. Esso è soluzione dell'equazione di Dirac le cui componenti sono funzioni d'onda.

Nel caso di una particella libera, le quattro possibili componenti soluzioni linearmente indipendenti dell'equazione di Dirac sono:

${\displaystyle \psi ^{(1,2)}=\operatorname {e} ^{-imt}{\hat {e}}^{(1,2)}}$

${\displaystyle \psi ^{(3,4)}=\operatorname {e} ^{imt}{\hat {e}}^{(3,4)}}$

dove ${\displaystyle {\hat {e}}^{i}}$ sono i vettori della base ortonormale di uno spazio a 4 dimensioni. Le prime due soluzioni sono ad energia positiva, le altre due ad energia negativa.

In un campo elettromagnetico, la soluzione dell'equazione si scrive come composta da due sotto-vettori di dimensione due detti spinori di Pauli:

${\displaystyle \psi ={{\tilde {\varphi }} \choose {\tilde {\chi }}}}$

Sono inoltre detti spinori di Dirac (o di Lorentz) tutte quelle funzioni che si trasformano secondo la trasformazione di Lorentz

${\displaystyle S(g+\operatorname {d} \omega )=I+i{\frac {\operatorname {d} \omega }{4}}\sigma _{\mu \nu }I^{\mu \nu }}$

lasciando invariata l'equazione di Dirac.

In tale equazione le σ non sono matrici di Pauli, ma sono definite a partire dal commutatore tra le γ:

${\displaystyle \sigma _{\mu \nu }={\frac {i}{2}}\left[\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }\right]}$

Infine, utilizzando anche le gamma di Dirac ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$, è possibile definire con lo spinore una quadricorrente:

${\displaystyle j^{\mu }(x)={\bar {\psi }}(x)\gamma ^{\mu }\psi (x)}$

dove

${\displaystyle {\bar {\psi }}(x)=\psi ^{\dagger }(x)\gamma ^{0}}$

e

${\displaystyle \psi ^{\dagger }(x)=\left({\tilde {\varphi }}^{*},{\tilde {\chi }}^{*}\right)}$

Tale spinore, sotto trasformazione di Lorentz, si trasforma in questo modo:

${\displaystyle {\bar {\psi }}(x)\rightarrow {\bar {\psi }}(x)S^{-1}}$

Infine, per la conservazione della probabilità (vedi anche l'equazione di continuità nella meccanica quantistica), la condizione di normalizzazione dà:

${\displaystyle \int \psi ^{\dagger }(x)\psi (x)\operatorname {d} ^{3}x=1}$

• Feynman, R.P., QED: La strana teoria della luce e della materia, Adelphi, ISBN 88-459-0719-8
• Claude Cohen-Tannoudji, Jacques Dupont-Roc, Gilbert Grynberg, Photons and Atoms: Introduction to Quantum Electrodynamics (John Wiley & Sons 1997) ISBN 0-471-18433-0
• Jauch, J. M., F. Rohrlich, F., The Theory of Photons and Electrons (Springer-Verlag, 1980)
• Feynman, R. P. Quantum Electrodynamics (Perseus Publishing, 1998) ISBN 0-201-36075-6

• Bosone (fisica)
• Bosoni vettore
• Bosoni vettori assiali
• Campo spinoriale
• Diagramma di Feynman
• Elettrodinamica quantistica
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• Propagatore
• Scattering

• Wikiquote contiene citazioni di o su spinore di Dirac

• Marcello Ciafaloni Complementi di Fisica Teorica: Introduzione alla teoria dei campi^{[collegamento interrotto]} (Università di Firenze)
• Roberto Casalbuoni Elettrodinamica Quantistica (Università di Firenze)
• Roberto Casalbuoni Teoria dei campi: Storia e Introduzione (Università di Firenze, 2001)

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