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In matematica, le regole di derivazione e le derivate fondamentali sono regole studiate per evitare di dover calcolare ogni volta il limite del rapporto incrementale di funzioni, e utilizzate al fine di facilitare la derivazione di funzioni di maggiore complessità.
Regole di derivazione
Siano
e
funzioni reali di variabile reale
derivabili, e sia
l'operazione di derivazione rispetto a
:
![{\displaystyle \mathrm {D} [f(x)]=f'(x),\qquad \mathrm {D} [g(x)]=g'(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a3dbbee591cfc03840aee7b3156fbb214dc15c9)
- Regola della somma (linearità):
![{\displaystyle \mathrm {D} [\alpha f(x)+\beta g(x)]=\alpha f'(x)+\beta g'(x),\qquad \alpha ,\beta \in \mathbb {R} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9a6500ce06fa522a6c5d5a6c9e3b8a2579055ad)
- Regola del prodotto (o di Leibniz):
![{\displaystyle \mathrm {D} [{f(x)\cdot g(x)}]=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74398f82204979f9097b8f0c739a7fb72bf9dd4f)
![{\displaystyle \mathrm {D} \left[{f(x) \over g(x)}\right]={f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x) \over g(x)^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f5ab95aa8459c3cd59bb25cd94dcb9be7beca56)
![{\displaystyle \mathrm {D} \left[{1 \over f(x)}\right]=-{f'(x) \over f(x)^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ab55df5e27c8a878d420d8bb9b5297a7ac46713)
![{\displaystyle \mathrm {D} [f^{-1}(x)]={1 \over f'(f^{-1}(x))}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e06882f1975b6d8fa37dd57fcd36cd0cecc0c6f5)
![{\displaystyle \mathrm {D} \left[f\left(g(x)\right)\right]=f'\left(g(x)\right)\cdot g'(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2817599e9674d0fc0091e8c197a91595e3e4ff29)
![{\displaystyle \mathrm {D} \left[f(x)^{g(x)}\right]=f(x)^{g(x)}\left[g'(x)\ln(f(x))+{\frac {g(x)f'(x)}{f(x)}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5372f08f78cf6feb831e90307bb4f2eaed3fbb78)
Derivate fondamentali
Ognuna di queste funzioni, se non altrimenti specificato, è derivabile in tutto il suo campo di esistenza.
Funzioni polinomiali
![{\displaystyle \mathrm {D} (a)=0,\qquad a{\text{ costante}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ec48ac65cb541981f9e4e17c67c9e21d85976c5)
![{\displaystyle \mathrm {D} (x)=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dba84307fc17be2373349a8525ae25b8ce2f2954)
![{\displaystyle \mathrm {D} (ax)=a,\qquad a{\text{ costante}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e653df5f3b36e82df01f190ad4a919138adff288)
![{\displaystyle \mathrm {D} (x^{2})=2x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a9d5290bbc68c7f0d26e8e76f3489c7aa7fedc5)
![{\displaystyle \mathrm {D} (x^{3})=3x^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/637c49ba199ea2200a775741d9bfe5923a99cec9)
Più in generale si ha:
![{\displaystyle \mathrm {D} (x^{n})=nx^{n-1},\qquad {\text{con }}n\in \mathbb {N} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0230cdcfdaf188c27048a7d9d7e454d601b1d605)
Da quest'ultima relazione segue che se
è un polinomio generico di grado
, allora
è in generale un polinomio di grado
.
Potenze, radici e valore assoluto
![{\displaystyle \mathrm {D} (x^{\alpha })=\alpha x^{\alpha -1},\qquad {\text{con }}\alpha \in \mathbb {R} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77b83535d0f7b45518cfea8d857467b2e33463fc)
![{\displaystyle \mathrm {D} ({\sqrt[{2}]{x}})={\frac {1}{2{\sqrt[{2}]{x}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa51b242cf9d670df7ee31a03ac62f2e67ffc33d)
![{\displaystyle \mathrm {D} ({\sqrt[{n}]{x^{m}}})={{\frac {m}{n}}{\sqrt[{n}]{x^{m-n}}}},\qquad {\text{se }}x>0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1b422f7b60f37c57b34c696546e2de446b0c5b6)
![{\displaystyle \mathrm {D} (|x|)={\dfrac {|x|}{x}}={\dfrac {x}{|x|}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/674942416c811100dbc5c65dda45fb4a8a77d2be)
Funzioni logaritmiche ed esponenziali
![{\displaystyle \mathrm {D} (\log _{b}x)={\frac {\log _{b}\mathrm {e} }{x}}={\frac {1}{x\ln b}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc6c966909e79169d1e01ffdfdd87ec1dba38e8b)
![{\displaystyle \mathrm {D} (\ln x)={\frac {1}{x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/766edb98156fdcf0817ba1451b7cf68e2abe5a9d)
![{\displaystyle \mathrm {D} (e^{x})=\mathrm {e} ^{x}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c71736c2a5b6baa06ac55e923c0ea60333c48f0)
![{\displaystyle \mathrm {D} (a^{x})=a^{x}\ln a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76dbb9fbc67d8abb951dc03383f75c7e15e3eb36)
![{\displaystyle \mathrm {D} (x^{x})=x^{x}(1+\ln x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0119bac1ad44a6a74441d57538bfca788c83dd16)
![{\displaystyle \mathrm {D} (\sin x)=\cos x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/404d537a3b7ccef3dd4ab74d9b90570cd03e7bc2)
![{\displaystyle \mathrm {D} (\cos x)=-\sin x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/714c5407e4efec967712648b3eb02441f7f4a658)
![{\displaystyle \mathrm {D} (\tan x)=1+\tan ^{2}x={1 \over \cos ^{2}x}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b87f20e4409881e7a43d45da9fbf80ceb227147)
![{\displaystyle \mathrm {D} (\cot x)=-(1+\cot ^{2}x)=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a39810df9d69e496d0877e02c52c4f4e1a14a6ca)
![{\displaystyle \mathrm {D} (\sec x)=\tan x\sec x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51b2d4767ab10890ed595bc55663c011dd9d5d3b)
![{\displaystyle \mathrm {D} (\csc x)=-\cot x\csc x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02efc08595751f35cc32f349cafc3b3f29a8390b)
![{\displaystyle \mathrm {D} (\arcsin x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0f41304fae7a7aeeec7beed79d6d1848b8e16ef)
![{\displaystyle \mathrm {D} (\arccos x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7deab8a0441bb00f95573adda7e556c9a40c889)
![{\displaystyle \mathrm {D} (\arctan x)={\frac {1}{1+x^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/659b75907d513bd6554b4d9f78c2fdda667c1519)
![{\displaystyle \mathrm {D} (\operatorname {arccot} x)={-1 \over 1+x^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e415a04c946ef7fd858e807cb8f62d2362cad060)
![{\displaystyle \mathrm {D} (\operatorname {arcsec} x)={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1512490b2ea8770f4ceb8c5893efd309881dbd03)
![{\displaystyle \mathrm {D} (\operatorname {arccsc} x)={-1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/508f38b9e3fd1190854a5b7bab19a5015e7a1d09)
![{\displaystyle \mathrm {D} (\sinh x)=\cosh x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c35774fff242bde8cbe26dcfd1895dc91f293755)
![{\displaystyle \mathrm {D} (\cosh x)=\sinh x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1df9392af7e1b58f1966fe8456cc288eaac78671)
![{\displaystyle \mathrm {D} (\tanh x)=1-\tanh ^{2}x={1 \over \cosh ^{2}x}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdfc28277bc39308010c718e0c98730903c9f1d6)
![{\displaystyle \mathrm {D} ({\mbox{coth}}\,x)=-{\mbox{csch}}^{2}\,x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99d4bfddbb11c90e106d51181ce02074c6102a11)
![{\displaystyle \mathrm {D} ({\mbox{sech}}\,x)=-\tanh x\;{\mbox{sech}}\,x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c76a1c6787ea3edc43370e81001ece50751cef6e)
![{\displaystyle \mathrm {D} ({\mbox{csch}}\,x)=-{\mbox{coth}}\,x\;{\mbox{csch}}\,x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b4f383011d5ccea1e45130b7bb20edd1f9d2662)
![{\displaystyle \mathrm {D} ({\mbox{settsinh}}\,x)={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/973b8b30765e152c9f6b4a62ac5c60524a0a3017)
![{\displaystyle \mathrm {D} ({\mbox{settanh}}\,x)={1 \over 1-x^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53bdba8b47c1e3b49e7be5f2b72d8e1bd232c717)
![{\displaystyle \mathrm {D} ({\mbox{settcoth}}\,x)={1 \over 1-x^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46cd0439e03b3dcf20ae1ba11e966591968bc1c7)
![{\displaystyle \mathrm {D} ({\mbox{settsech}}\,x)={-1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c273e837fe9d9d5b68a451d30835a32170af2201)
![{\displaystyle \mathrm {D} ({\mbox{settcsch}}\,x)={-1 \over |x|{\sqrt {1+x^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b17b548913babea1dbc0bbec9521b424898efbfc)
Derivate di funzioni composte
![{\displaystyle \mathrm {D} (|f(x)|)=f'(x){\dfrac {f(x)}{|f(x)|}}=f'(x){\dfrac {|f(x)|}{f(x)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3807860337024cf1a128a8b39a857a05e9321a95)
![{\displaystyle \mathrm {D} ([f(x)]^{n})=n\cdot f(x)^{n-1}\cdot f'(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acda3dc305bb142e50d63a30ffe67dabde6813d1)
![{\displaystyle \mathrm {D} (\ln f(x))={f'(x) \over f(x)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd736c9ae3fcff89b99fec1f861c363b6284c1cf)
![{\displaystyle \mathrm {D} (\ln |f(x)|)={f'(x) \over f(x)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/985a6099d0be9339e4c36bf53dcc0608d8053ac8)
![{\displaystyle \mathrm {D} (\mathrm {e} ^{f(x)})=\mathrm {e} ^{f(x)}\cdot f'(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc60ac20e0fd3d833522fc0d166e42e76e7eb9a4)
![{\displaystyle \mathrm {D} (a^{f(x)})=a^{f(x)}\cdot f'(x)\cdot \ln a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c3919c9162b235fed8deaffe8561d4d7838e26c)
![{\displaystyle \mathrm {D} (\sin f(x))=\cos f(x)\cdot f'(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0baa3cc81217b31059954094d8367c9ec651f54c)
![{\displaystyle \mathrm {D} (\cos f(x))=-\sin f(x)\cdot f'(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/957209021f3abd46c8f38552e5910d172a403972)
![{\displaystyle \mathrm {D} (\tan f(x))={f'(x) \over \cos ^{2}f(x)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3da4277d562e4b3577ee0c9199aa13662a514e95)
![{\displaystyle D(\arcsin f(x))={f'(x) \over {\sqrt {1-[f(x)]^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63fd316798cefbec6529fe48b94a637c4667bf29)
![{\displaystyle D(\arccos f(x))={-f'(x) \over {\sqrt {1-[f(x)]^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/394120c0b30ba4221a698d7dc4c6874ddcffdd5a)
![{\displaystyle D(\arctan f(x))={f'(x) \over 1+[f(x)]^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9544bbb24e2189c0c44f3f8537c5b34dfc5084d)
![{\displaystyle D(f(x)^{g(x)})=f(x)^{g(x)}\cdot \left[g'(x)\cdot \ln f(x)+g(x)\cdot {f'(x) \over f(x)}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eba6b22fbae869aef2d2c9dd3f02a9d8d83b832a)
Dimostrazione
e dunque si deriva seguendo la regola di
e del prodotto.
![{\displaystyle D(x^{f(x)})=x^{f(x)}\cdot \left[f'(x)\cdot \ln x+{f(x) \over x}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db26b76af91ca76fc8acaf7ee36494cd2603270c)
Voci correlate
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