Matrice ortogonale

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, una matrice ortogonale è una matrice invertibile tale che la sua trasposta coincide con la sua inversa.

Nel campo complesso, una matrice invertibile la cui trasposta coniugata coincide con l'inversa è detta matrice unitaria.

Definizione

Data una matrice invertibile ${\displaystyle G}$, indicando con ${\displaystyle G^{T}}$ la sua trasposta si definisce ${\displaystyle G}$ ortogonale se:

${\displaystyle GG^{T}=G^{T}G=I_{n}}$

laddove ${\displaystyle I_{n}}$ è la matrice identità, ovvero la trasposta è l'inversa.

In modo equivalente, una matrice ortogonale è una matrice che rappresenta una isometria dello spazio euclideo, oppure è una matrice di cambiamento di base fra due basi ortonormali.

Si può ricavare che il numero di parametri indipendenti in una matrice ortogonale di dimensione ${\displaystyle N}$ è ${\displaystyle N(N-1)/2}$.

Proprietà

Basi ortonormali

Una matrice quadrata è ortogonale se e solo se le sue colonne formano una base ortonormale dello spazio euclideo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ con l'ordinario prodotto scalare. Questa proprietà è semplicemente la rilettura della relazione ${\displaystyle G^{T}G=I_{n}}$.

Rileggendo similmente la relazione ${\displaystyle GG^{T}=I_{n}}$, si ricava l'enunciato duale del precedente: una matrice quadrata reale è ortogonale se e solo se le sue righe formano una base ortonormale di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Isometrie

Geometricamente, le matrici ortogonali descrivono le trasformazioni lineari di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ che sono anche isometrie. Queste preservano il prodotto scalare dello spazio, e quindi gli angoli e le lunghezze. Ad esempio, le rotazioni e le riflessioni sono isometrie.

Viceversa, se ${\displaystyle V}$ è un qualsiasi spazio vettoriale di dimensione finita dotato di un prodotto scalare definito positivo, e ${\displaystyle f:V\to V}$ è un'applicazione lineare con:

${\displaystyle \langle f(x),f(y)\rangle =\langle x,y\rangle }$

per tutti gli elementi ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ di ${\displaystyle V}$, allora ${\displaystyle f}$ è una isometria ed è rappresentata in ogni base ortonormale di ${\displaystyle V}$ da una matrice ortogonale.

In uno spazio euclideo di dimensione 2 e 3, ogni matrice ortogonale esprime una rotazione intorno ad un punto o un asse, o una riflessione, o una composizione di queste due trasformazioni.

Gruppo ortogonale

Dalla definizione segue subito che l'inversa di ogni matrice ortogonale, cioè la sua trasposta, è anch'essa ortogonale.

Analogamente, il prodotto di due matrici ortogonali è una matrice ortogonale. Infatti:

${\displaystyle (GH)\cdot (GH)^{T}=GHH^{T}G^{T}=GG^{T}=I}$

Questo dimostra che l'insieme delle matrici ortogonali ${\displaystyle n\times n}$ forma un gruppo, il gruppo ortogonale, che è un gruppo di Lie e viene indicato con ${\displaystyle O(n)}$.

La sua dimensione è ${\displaystyle n(n-1)/2}$. Intuitivamente, la dimensione è calcolata nel modo seguente: gli ${\displaystyle n^{2}}$ numeri di una matrice ortogonale sono vincolati dalle ${\displaystyle n^{2}}$ uguaglianze della definizione, ciascuna delle quali è caratterizzata da una coppia di indici ${\displaystyle (i,j)}$ che vanno da 1 a ${\displaystyle n}$, ma l'equazione relativa a ${\displaystyle (i,j)}$ con ${\displaystyle i<j}$ equivale a quella relativa a ${\displaystyle (j,i)}$ e quindi ci sono solo ${\displaystyle n(n+1)/2}$ equazioni indipendenti, e quindi ${\displaystyle n(n-1)/2}$ gradi di libertà.

Matrice ortogonale speciale

Il determinante di ogni matrice ortogonale è ${\displaystyle 1}$ o ${\displaystyle -1}$. Questo si può dimostrare come segue:

${\displaystyle 1=\det(I)=\det(G\cdot G^{T})=\det(G)\det(G^{T})=(\det(G))^{2}}$

Una matrice ortogonale con determinante positivo si dice matrice ortogonale speciale.

L'insieme di tutte le matrici ortogonali speciali formano un sottogruppo di ${\displaystyle O(n)}$ di indice 2, chiamato gruppo ortogonale speciale e denotato ${\displaystyle SO(n)}$.

Autovalori e decomposizioni

Autovalori

Tutti gli autovalori di una matrice ortogonale, anche quelli complessi, hanno valore assoluto ${\displaystyle 1}$. Autospazi relativi a differenti autovalori sono ortogonali tra loro.

Decomposizioni lungo piani

Data una matrice ortogonale ${\displaystyle Q}$, esiste una matrice ortogonale ${\displaystyle P}$, tale che:

${\displaystyle P^{-1}QP={\begin{pmatrix}R_{1}\\&R_{2}\\&&\ddots \\&&&R_{k}\\&&&&\pm 1\\&&&&&\ddots \\&&&&&&\pm 1\\\end{pmatrix}}}$

dove ${\displaystyle R_{1},\dots ,R_{k}}$ denotano matrici di rotazione ${\displaystyle 2\times 2}$. Intuitivamente, questo risultato dice che ogni matrice ortogonale descrive una combinazione di rotazioni e riflessioni su piani ortogonali. Le matrici ${\displaystyle R_{1},\dots ,R_{k}}$ corrispondono alle coppie di autovalori complessi coniugati di ${\displaystyle Q}$.

Decomposizione QR

Se ${\displaystyle A}$ è una arbitraria matrice di tipo ${\displaystyle m\times n}$ di rango ${\displaystyle n}$ (cioè ${\displaystyle m\geq n}$), si può sempre scrivere:

${\displaystyle A=Q{\begin{pmatrix}R\\0\end{pmatrix}}}$

dove ${\displaystyle Q}$ è una matrice ortogonale di tipo ${\displaystyle m\times n}$ e ${\displaystyle R}$ è una matrice triangolare superiore di tipo ${\displaystyle n\times n}$ con valori positivi sulla diagonale principale. La decomposizione QR può essere dimostrata applicando l'ortogonalizzazione di Gram-Schmidt alle colonne di ${\displaystyle A}$.

Questa decomposizione risulta utile per risolvere numericamente i sistemi di equazioni lineari e i problemi di minimi quadrati.

Matrici ortogonali e rappresentazione delle algebre di Clifford

Alle matrici ortogonali si può attribuire un secondo significato geometrico che si collega alle rappresentazione matriciale delle algebre di Clifford. Ad esempio, i vettori della base canonica di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ sono ${\displaystyle e_{1}=[1,0]}$ e ${\displaystyle e_{2}=[0,1]}$ e un generico vettore ${\displaystyle [x,y]}$ di questo piano cartesiano si può scrivere:

${\displaystyle [x,y]=x[1,0]+y[0,1]}$

La matrice ortogonale:

${\displaystyle E_{1}:={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}}$

rappresenta la riflessione rispetto alla bisettrice ${\displaystyle y=x}$, poiché scambia le due componenti di ogni vettore piano:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y&x\end{bmatrix}}}$

La matrice ortogonale:

${\displaystyle E_{2}:={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}$

rappresenta invece la riflessione rispetto all'asse ${\displaystyle x}$, poiché il punto ${\displaystyle [xy]}$ ha come immagine ${\displaystyle [x,-y]}$:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x&-y\end{bmatrix}}}$

Per i due prodotti di queste matrici si trova:

${\displaystyle E_{1}\times E_{2}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle E_{2}\times E_{1}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}}$

Si tratta delle due rotazioni nel piano di ${\displaystyle \pi /2}$ e di ${\displaystyle -\pi /2}$, rotazioni opposte: quindi le due matrici ${\displaystyle E_{i}}$ anticommutano. In formule:

${\displaystyle E_{1}^{2}=E_{2}^{2}=I\qquad E_{1}E_{2}=-E_{2}E_{1}}$

Si considerino ora ${\displaystyle E_{1}}$ ed ${\displaystyle E_{2}}$ come vettori di base del piano bidimensionale delle loro combinazioni lineari:

${\displaystyle (x,y):=xE_{1}+yE_{2}={\begin{bmatrix}y&x\\x&-y\end{bmatrix}}}$

sfruttando la composizione:

${\displaystyle A\cdot B:={\frac {1}{2}}(AB+BA)}$

si trova:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}y&x\\x&-y\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}v&u\\u&-v\end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}{\Biggl (}{\begin{bmatrix}xu+yv&yu-xv\\xv-yu&xu+yv\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}xu+yv&xv-yu\\yu-xv&xu+yv\end{bmatrix}}{\Biggr )}={\begin{bmatrix}xu+yv&0\\0&xu+yv\end{bmatrix}}}$

Per il quadrato di una di queste entità in particolare:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}y&x\\x&-y\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}y&x\\x&-y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x^{2}+y^{2}&0\\0&x^{2}+y^{2}\end{bmatrix}}}$

Si può quindi definire come prodotto interno di ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ la precedente composizione, a meno della matrice unità ${\displaystyle I_{2}}$. Questo è lecito in quanto chiaramente si tratta di una forma bilineare simmetrica positiva. Il prodotto interno di una entità matriciale e vettoriale con sé stessa fornisce il quadrato della sua norma.

Dato che le entità base anticommutano si vede che:

${\displaystyle E_{1}\cdot E_{2}=0}$

Le entità ${\displaystyle E_{1}}$ ed ${\displaystyle E_{2}}$ sono ortogonali secondo entrambe le loro interpretazioni: sono matrici ortogonali e rappresentano vettori di base ortogonali in quanto matrici anticommutative.

Matrici ortogonali trigonometriche

Matrice ortogonale 2×2

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos(\alpha )&\mp \sin(\alpha )\\\sin(\alpha )&\pm \cos(\alpha )\end{bmatrix}}}$

Matrice ortogonale 3×3

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos(\alpha )\cos(\gamma )-\sin(\alpha )\sin(\beta )\sin(\gamma )&-\sin(\alpha )\cos(\beta )&-\cos(\alpha )\sin(\gamma )-\sin(\alpha )\sin(\beta )\cos(\gamma )\\\cos(\alpha )\sin(\beta )\sin(\gamma )+\sin(\alpha )\cos(\gamma )&\cos(\alpha )\cos(\beta )&\cos(\alpha )\sin(\beta )\cos(\gamma )-\sin(\alpha )\sin(\gamma )\\\cos(\beta )\sin(\gamma )&-\sin(\beta )&\cos(\beta )\cos(\gamma )\end{bmatrix}}}$

Queste matrici sono anche matrici di rotazione di coordinate. Utilizzando le equazioni di rotazione di uno spazio n-dimensionale si possono costruire matrici ortogonali trigonometriche di dimensione ${\displaystyle n\times n}$.

Bibliografia

• (EN) A.I. Mal'tsev, Foundations of linear algebra , Freeman (1963) (Translated from Russian)
• (EN) W. Noll, Finite dimensional spaces , M. Nijhoff (1987) pp. Sect. 43
• (EN) H.W. Turnball, A.C. Aitken, An introduction to the theory of canonical matrices , Blackie & Son (1932)
• (EN) Persi Diaconis, Mehrdad Shahshahani. The subgroup algorithm for generating uniform random variables. Prob. in Eng. and Info. Sci., vol. 1, 15–32, 1987. ISSN 0269-9648.
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• (EN) Gene H. Golub, Charles F. Van Loan. Matrix Computations, 3/e. Johns Hopkins University Press, Baltimore, 1996. ISBN 978-0-8018-5414-9.
• (EN) Nicholas Higham. Computing the Polar Decomposition—with Applications. SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing, 7(4):1160–1174, 1986. ISSN 0196-5204. [2] Archiviato il 7 ottobre 2007 in Internet Archive.

Voci correlate

• Algebra di Clifford
• Gruppo ortogonale
• Matrice antisimmetrica
• Matrice normale
• Matrice simplettica
• Matrice trasposta coniugata
• Matrice unitaria
• Teorema di Schur-Horn

Collegamenti esterni

• matrice ortogonale, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Matrice ortogonale, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Matrice ortogonale, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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