Gruppo dei quaternioni

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In matematica, e specialmente in teoria dei gruppi, il gruppo dei quaternioni (spesso indicato con Q 8 {\displaystyle Q_{8}} ) è il gruppo formato dagli otto elementi {1, -1, i, -i, j, -j, k, -k} caratteristici del corpo dei quaternioni. Essi sono legati dalle relazioni

i 2 = j 2 = k 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1}
i j = k ,   j i = − k {\displaystyle ij=k,~ji=-k}
i k = − j ,   k i = j {\displaystyle ik=-j,~ki=j}
j k = i ,   k j = − i {\displaystyle jk=i,~kj=-i}

È ovviamente non abeliano e generato da due elementi distinti presi tra i, j e k; inoltre è il più piccolo gruppo non abeliano in cui tutti i sottogruppi sono normali (un gruppo di questo tipo è detto hamiltoniano), e il più piccolo gruppo non abeliano il cui ordine è la potenza di un primo. È anche il secondo gruppo non abeliano più piccolo (quello col minor numero di elementi è il gruppo simmetrico S 3 {\displaystyle S_{3}} , con 6 elementi).

Tutti i suoi sottogruppi (diversi dal solo elemento neutro) si intersecano in modo non banale nel sottogruppo {1, -1}, che è anche il centro del gruppo. Questo implica che Q 8 {\displaystyle Q_{8}} non è né un prodotto diretto né un prodotto semidiretto di gruppi più piccoli.

Il gruppo degli automorfismi di Q 8 {\displaystyle Q_{8}} è il gruppo simmetrico S 4 {\displaystyle S_{4}} , mentre quello degli automorfismi interni è il gruppo di Klein.

Rappresentazione mediante matrici

Il gruppo dei quaternioni può anche essere visto come un sottogruppo di G L 2 ( C ) {\displaystyle \mathrm {GL} _{2}(\mathbb {C} )} (cioè della matrici invertibili a valori complessi) tramite l'isomorfismo

i ↦ ( i 0 0 − i ) , j ↦ ( 0 1 − 1 0 ) , k ↦ ( 0 i i 0 ) {\displaystyle i\mapsto {\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}},\qquad j\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},\qquad k\mapsto {\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}}

Voci correlate

  • Quaternione

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Collegamenti esterni

  • (EN) Eric W. Weisstein, Gruppo dei quaternioni, su MathWorld, Wolfram Research. Modifica su Wikidata
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