Gas di Fermi

In fisica, in particolare in meccanica statistica, un gas di Fermi è un gas di fermioni. La statistica di Fermi-Dirac permette di determinare la distribuzione dell'energia per un gas di fermioni all'equilibrio termico conoscendone la densità, la temperatura e il set di stati energetici possibili.

Con questo modello possono essere in prima approssimazione descritti i nucleoni all'interno del nucleo atomico o gli elettroni di conduzione in un metallo.

Lo stesso argomento in dettaglio: Statistica di Fermi-Dirac.

Un gas di Fermi composto da particelle identiche segue la statistica di Fermi-Dirac, dalla quale si deduce che:

${\displaystyle {\overline {n_{k}}}={\frac {1}{e^{(\varepsilon _{k}-\mu )/kT}+1}}}$

che rappresentano i valori medi dei numeri di occupazione per un gas di Fermi. Per un gas di Fermi tutti i numeri di occupazione sono ${\displaystyle {\overline {n_{k}}}\leq 1}$. La normalizzazione impone:

${\displaystyle N=\sum _{k}{\frac {1}{e^{(\varepsilon _{k}-\mu )/kT}+1}}}$

dove N è il numero totale di particelle del gas. Da questa possiamo determinare il potenziale chimico.

L'hamiltoniana di un gas di Fermi costituito da N fermioni di massa m racchiuso all'interno di una scatola cubica di lato L è:

${\displaystyle H_{0}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {p_{i}^{2}}{2m}}}$

dove l'energia di singola particella è:

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2m}}}$

espressi in termini di autovalori, ovvero i valori di energia accessibili al sistema: ${\displaystyle \varepsilon _{k}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}}$. Tenendo conto della degenerazione di spin ${\displaystyle g=2s+1}$ dove s è lo spin del fermione, il numero di particelle nell'elemento di volume dello spazio delle fasi è:

${\displaystyle gd\tau =g{\frac {dp_{x}dp_{y}dp_{z}dV}{(2\pi \hbar )^{3}}}}$

cioè si ha per la distribuzione di Fermi:

${\displaystyle dN={\frac {gd\tau }{e^{(\varepsilon -\mu )/kT}+1}}}$

Più precisamente, integrando quest'ultima in ${\displaystyle dV}$ si ottiene la distribuzione dell'impulso:

${\displaystyle dN_{p}={\frac {gVp^{2}dp}{2\pi ^{2}\hbar ^{3}\left[e^{(\varepsilon -\mu )/kT}+1\right]}}}$

e siccome ${\displaystyle \varepsilon =p^{2}/2m}$, si deduce subito la distribuzione di energia:

${\displaystyle dN_{\varepsilon }={\frac {gVm^{3/2}}{{\sqrt {2}}\pi ^{2}\hbar ^{3}}}{\frac {{\sqrt {\varepsilon }}\,d\varepsilon }{e^{(\varepsilon -\mu )/kT}+1}}}$

Le ultime due espressioni rappresentano le distribuzioni di Maxwell nel caso di un gas di Fermi. Dalla seconda si ricava l'energia:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\varepsilon \,dN_{\varepsilon }={\frac {gVm^{3/2}}{{\sqrt {2}}\pi ^{2}\hbar ^{3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\varepsilon ^{3/2}\,d\varepsilon }{e^{(\varepsilon -\mu )/kT}+1}}}$

e il numero totale di particelle:

${\displaystyle N={\frac {gVm^{3/2}}{{\sqrt {2}}\pi ^{2}\hbar ^{3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {{\sqrt {\varepsilon }}\,d\varepsilon }{e^{(\varepsilon -\mu )/kT}+1}}}$

che fornisce anche il potenziale termodinamico:

${\displaystyle \Omega =-{\frac {VgT{\sqrt {(m)^{3}}}}{{\sqrt {2}}\pi ^{2}\hbar ^{3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\varepsilon ^{3/2}\,d\varepsilon }{e^{(\varepsilon -\mu )/kT}+1}}}$

Esso coincide con l'energia a meno di un fattore:

${\displaystyle \Omega =-PV={\frac {2}{3}}E}$

che è una relazione del tutto generale e vale per tutti i sistemi, sia di Bose, sia di Fermi e di Boltzmann.

Supponiamo di avere un gas di fermioni di spin ${\displaystyle s=1/2}$ (quindi ${\displaystyle g=2s+1=2}$), ad esempio elettroni, a temperatura assoluta ${\displaystyle T}$ = 0 K. Gli elettroni a tale temperatura cercano di porsi negli stati a energia minore in modo che il totale dell'energia sia il valore più basso possibile, partendo dallo stato a energia nulla, fino a un certo valore.

Il numero di stati quantistici di un elettrone in un volume V con impulso compreso in ${\displaystyle (p,p+dp)}$ è dato dalla prima delle distribuzioni di Maxwell:

${\displaystyle 2{\frac {4\pi Vp^{2}\,dp}{(2\pi \hbar )^{3}}}=V{\frac {p^{2}\,dp}{\pi ^{2}\hbar ^{3}}}}$

Gli elettroni occupano tutti gli stati con impulso uguale a zero (notare che ${\displaystyle \varepsilon =p^{2}/2m}$) fino al valore ${\displaystyle p=p_{F}}$ detto impulso di Fermi, che equivale nello spazio degli impulsi, al raggio di una sfera detta sfera di Fermi.

Il numero totale di elettroni in questi stati è dato da:

${\displaystyle N={\frac {V}{\pi ^{2}\hbar ^{3}}}\int _{0}^{p_{F}}p^{2}\,dp={\frac {Vp_{F}^{3}}{3\pi ^{2}\hbar ^{3}}}}$

da cui possiamo ricavare l'impulso di Fermi:

${\displaystyle p_{F}=(3\pi ^{2})^{1/3}\hbar \left({\frac {N}{V}}\right)^{1/3}}$

e l'energia di Fermi:

${\displaystyle \varepsilon _{F}={\frac {p_{F}^{2}}{2m}}=(3\pi ^{2})^{2/3}{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {N}{V}}\right)^{2/3}}$

Questo si può vedere anche dai numeri di occupazione medi: infatti al limite ${\displaystyle T\to 0}$:

${\displaystyle \lim _{T\to 0}{\overline {n_{\mathbf {p} }}}=\lim _{T\to 0}{\frac {1}{e^{(\varepsilon -\mu )/kT}+1}}=\left\{{\begin{matrix}1&\varepsilon <\mu \\0&\varepsilon >\mu \end{matrix}}\right.}$

cioè i numeri di occupazione medi diventano una funzione a gradino facendoci pensare al fatto che per ${\displaystyle p<p_{F}}$ oppure ${\displaystyle \varepsilon <\varepsilon _{F}}$ gli elettroni si dispongono a partire dal livello ${\displaystyle \varepsilon =0}$ fino ai livelli ${\displaystyle p=p_{F}}$ oppure ${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{F}}$ con la condizione che in un livello ci sia al massimo una particella secondo il principio di esclusione di Pauli. Dopo questi valori, per ${\displaystyle p>p_{F}}$ non vi sono più elettroni da sistemare.

Da notare che:

${\displaystyle \varepsilon _{F}=\mu \ }$

L'energia totale del gas di Fermi completamente degenere si ottiene dall'integrazione:

${\displaystyle E={\frac {V}{2m\pi ^{2}\hbar ^{3}}}\int _{0}^{p_{F}}p^{4}\,dp={\frac {Vp_{F}^{5}}{10m\pi ^{2}\hbar ^{3}}}}$

che, sostituendo l'espressione dell'impulso di Fermi e, nel successivo passaggio, quella dell'energia di Fermi, diventa:

${\displaystyle E={\frac {3(3\pi ^{2})^{2/3}\hbar ^{2}}{10m}}\left({\frac {N}{V}}\right)^{2/3}N={\frac {3}{5}}{N\varepsilon _{F}}}$

Infine, usando la relazione generale del potenziale termodinamico, si ottiene:

${\displaystyle P={\frac {(3\pi ^{2})^{2/3}\hbar ^{2}}{5m}}\left({\frac {N}{V}}\right)^{5/3}}$

ovvero: la pressione è proporzionale alla densità secondo la potenza 5/3.

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