Correlazione incrociata

In teoria dei segnali la correlazione incrociata (detta anche correlazione mutua o cross-correlazione, dall'inglese cross-correlation) rappresenta la misura di similitudine di due segnali come funzione di uno spostamento o traslazione temporale applicata ad uno di essi.

Definizione intuitiva

Considerando due segnali a valori reali ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ che differiscono solamente per uno spostamento sull'asse t, si può calcolare la correlazione incrociata per mostrare di quanto ${\displaystyle y}$ deve essere anticipato per renderlo identico ad ${\displaystyle x}$. La formula essenzialmente anticipa il segnale ${\displaystyle y}$ lungo l'asse t, calcolando l'integrale del prodotto per ogni possibile valore dello spostamento. Quando i due segnali coincidono, il valore di ${\displaystyle (x\star y)}$ è massimizzato, poiché quando le forme d'onda sono allineate, esse contribuiscono solo positivamente al computo dell'area.

Con segnali complessi ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$, prendere il coniugato di ${\displaystyle x}$ assicura che le forme d'onda allineate con componenti immaginarie contribuiscano positivamente al computo dell'integrale.

Definizione formale

Per due segnali di energia finita x ed y la correlazione incrociata è definita come:

${\displaystyle R_{xy}(t)=(x\star y)(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\int _{-\infty }^{\infty }x^{*}(\tau )\ y(t+\tau )\,d\tau }$

in cui x * denota il complesso coniugato di x.

Per due sequenze tempo-discreto, la correlazione incrociata è definita come:

${\displaystyle R_{xy}[n]=(x\star y)[n]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\sum _{m=-\infty }^{\infty }x^{*}[m]\ y[n+m]}$

Similmente, nel caso di segnali di potenza, si può scrivere:

${\displaystyle R_{xy}(t)=(x\star y)(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}x^{*}(\tau )\ y(t+\tau )\,d\tau }$

e per sequenze di potenza:

${\displaystyle R_{xy}[n]=(x\star y)[n]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{2N+1}}\sum _{m=-N}^{N}x^{*}[m]\ y[n+m]}$

La correlazione incrociata è simile per natura alla convoluzione tra due segnali. A differenza della convoluzione, che comporta l'inversione temporale di un segnale e poi lo spostamento ed il prodotto per un altro segnale, la correlazione comporta solamente lo spostamento ed il prodotto.

Proprietà

• La correlazione incrociata dei segnali x(t) e y(t) è equivalente alla convoluzione di x *(−t) e y(t):

${\displaystyle x\star y=(t\mapsto x^{*}(-t))*y.}$

• Analogamente al teorema della convoluzione, la correlazione incrociata soddisfa la proprietà:

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{x\star y\}=({\mathcal {F}}\{x\})^{*}\cdot {\mathcal {F}}\{y\},}$

in cui ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ denota la trasformata di Fourier.

• La correlazione incrociata ha come trasformata di Fourier la densità spettrale (vedere il Teorema di Wiener-Chinčin).
• La correlazione incrociata della convoluzione tra x e z con una funzione y è la convoluzione della correlazione di x e y con il nucleo z:

${\displaystyle (x*z)\star y=z(-)*(x\star y)}$

• Se ${\displaystyle X}$ ed ${\displaystyle Y}$ sono due variabili aleatorie statisticamente indipendenti con densità di probabilità f e g, rispettivamente, allora la densità di probabilità della differenza ${\displaystyle X-Y}$ è data dalla correlazione incrociata f ${\displaystyle \star }$ g. Al contrario, la convoluzione f ${\displaystyle *}$ g dà la densità di probabilità della somma ${\displaystyle X+Y}$.

Autocorrelazione

Un'autocorrelazione è la correlazione incrociata di un segnale con se stesso,

Per un segnale di energia finita x l'autocorrelazione è definita come:

${\displaystyle R_{x}(t){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\int _{-\infty }^{\infty }x^{*}(\tau )\ x(t+\tau )\,d\tau }$

in cui x * denota il complesso coniugato di x.

Per una sequenza tempo-discreto, l'autocorrelazione è definita come:

${\displaystyle R_{x}[n]{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\sum _{m=-\infty }^{\infty }x^{*}[m]\ x[n+m]}$

Similmente, nel caso di segnali a potenza finita, si può scrivere:

${\displaystyle R_{x}(t){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}x^{*}(\tau )\ x(t+\tau )\,d\tau }$

e per sequenze di potenza finita:

${\displaystyle R_{x}[n]{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{2N+1}}\sum _{m=-N}^{N}x^{*}[m]\ x[n+m]}$

Il suo utilizzo ad esempio è quello di verificare eventuali pattern di periodicità del segnale x(t), in tal caso infatti anche la correlazione presenta periodicità pari ad un certo valore del parametro di traslazione.

Proprietà dell'autocorrelazione

• L'autocorrelazione ha sempre un picco nell'origine.

• L'autocorrelazione di un segnale è una funzione a simmetria hermitiana, ${\displaystyle R_{x}^{*}(t)=R_{x}(-t)}$, infatti

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{x}^{*}(t)&=\int _{-\infty }^{\infty }\left[x^{*}(\tau )\ x(t+\tau )\,d\tau \right]^{*}\\&=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\ x^{*}(t+\tau )\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }x^{*}(\tau ')\ x(\tau '-t)\,d\tau '\\&=\int _{-\infty }^{\infty }x^{*}(\tau ')\ x(\tau '+(-t))\,d\tau '\\&=R_{x}(-t)\\\end{aligned}}}$

dove è stata utilizzata l'identità ${\displaystyle t+\tau =\tau '}$.

• L'autocorrelazione di un segnale interamente reale è pari in quanto la simmetria hermitiana differisce dalla parità per il coniugato, ma esso sui reali coincide con il numero stesso.

• Il valore assunto nell’origine coincide con l’energia del segnale:

${\displaystyle R_{x}(0)=\int _{-\infty }^{\infty }x^{*}(\tau )\ x(0+\tau )\,d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }x^{*}(\tau )\ x(\tau )\,d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }|x(\tau )|^{2}\,d\tau =E_{x}}$.

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Relazione tra correlazione e convoluzione

Si ricorda che la convoluzione tra due segnali ${\displaystyle x(t)}$ e ${\displaystyle y(t)}$, reali o complessi, indicata simbolicamente come:

${\displaystyle x(t)*y(t)}$

è data indifferentemente dalle due espressioni:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }x(t)y(\tau -t)\ dt}$

e

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }x(\tau -t)y(t)\ dt}$,

dalla prima si passa alla seconda con un semplice cambio di variabile.

L'operatore di correlazione e quello di convoluzione sono legati dalla relazione

${\displaystyle R_{xy}(t)=x(t)*y^{*}(-t)}$,

infatti

${\displaystyle x(t)*y^{*}(-t)=\int _{-\infty }^{+\infty }x(\tau )y^{*}(-(t-\tau ))\ d\tau =\int _{-\infty }^{+\infty }x(\tau )y^{*}(\tau -t)\ d\tau =\int _{-\infty }^{+\infty }x(\tau +t)y^{*}(\tau )\ d\tau =R_{xy}(t)}$.

Voci correlate

• Covarianza incrociata
• Autocorrelazione
• Convoluzione
• Correlazione (statistica)
• Teorema di Wiener-Chinčin

Collegamenti esterni

• Weisstein, Eric W. "Cross-Correlation." From MathWorld--A Wolfram Web Resource, su mathworld.wolfram.com.

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