Assiomi di Kolmogorov

Gli assiomi di Kolmogorov sono una parte fondamentale della teoria della probabilità di Andrey Kolmogorov. In essi, la probabilità P di qualche evento E, indicata come ${\displaystyle P(E)}$, è definita in modo da soddisfare questi assiomi. Gli assiomi sono descritti di seguito.

Questi assiomi possono essere riassunti come segue: Sia (Ω, F, P) uno spazio mensurale con P(Ω) = 1. Allora (Ω, F, P) è lo spazio delle probabilità, con spazio campionario Ω, spazio degli eventi F e misura della probabilità P.

Un approccio alternativo alla formalizzazione della probabilità, proposto da alcuni bayesiani, è dato dal teorema di Cox .

La probabilità di un evento è un numero reale non negativo:

${\displaystyle P(E)\in \mathbb {R} ,P(E)\geq 0\qquad \forall E\in F}$

dove ${\displaystyle F}$ è lo spazio degli eventi. Segue che ${\displaystyle P(E)}$ è sempre finito, in contrasto con la più generale teoria della misura. Teoria che assegna probabilità negativa in relazione al primo assioma.

La probabilità dell'intero spazio campione è 1 (Ipotesi della misura unitaria)

${\displaystyle P(\Omega )=1.}$

Qualsiasi sequenza numerabile di insiemi disgiunti (sinonimo di eventi reciprocamente esclusivi) ${\displaystyle E_{1},E_{2},\ldots }$ soddisfa

${\displaystyle P\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }P(E_{i}).}$

Alcuni autori considerano unicamente spazi di probabilità puramente additivi, in tal caso è necessaria solo un'algebra di insiemi, piuttosto che una σ-algebra .

Dagli assiomi di Kolmogorov si possono dedurre altre regole utili per il calcolo delle probabilità.

${\displaystyle P(\varnothing )=0.}$

In alcuni casi, ${\displaystyle \varnothing }$ non è l'unico evento con probabilità 0.

${\displaystyle \quad {\text{se}}\quad A\subseteq B\quad {\text{allora}}\quad P(A)\leq P(B).}$

Se A è un sottoinsieme di B, o uguale a B, allora la probabilità di A è inferiore o uguale alla probabilità di B.

Dimostrazione:

P(B) = P(B∩Ω) = P(B∩(A^c∪A)) = P((B∩A)∪(B∩A^c)) = P((B∩A) + P(B∩A^c) = P(A) + P(B∩A^c) >= P(A)

Segue immediatamente dalla proprietà di monotonicità che

${\displaystyle 0\leq P(E)\leq 1\qquad \forall E\in F.}$

Un'altra proprietà importante è:

${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).}$

Questa è chiamata la legge addizionale della probabilità, o la regola della somma. Cioè, la probabilità che accada o A o B, è la somma delle probabilità che A accada e che B accada, meno la probabilità che accadranno sia A che B. La dimostrazione di ciò è:

In primo luogo,

${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B\setminus A)}$ (per il terzo Assioma)

Quindi,

${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B\setminus (A\cap B))}$ (perché ${\displaystyle B\setminus A=B\setminus (A\cap B)}$).

E,

${\displaystyle P(B)=P(B\setminus (A\cap B))+P(A\cap B)}$

sottraendo ${\displaystyle P(B\setminus (A\cap B))}$ da entrambe le equazioni otteniamo il risultato voluto.

Un'estensione della legge addizionale a qualsiasi numero di insiemi è il principio di inclusione-esclusione .

Chiamando B come complemento A ^c di A nella legge addizionale si ottiene

${\displaystyle P\left(A^{c}\right)=P(\Omega \setminus A)=1-P(A)}$

Cioè, la probabilità che un evento non accada (o il complemento dell'evento) è 1 meno la probabilità che accada.

Prendiano in considerazione il lancio di una singola moneta e presumiamo che esca o testa (T) o croce (C) (ma non entrambe). Non ipotizza che la moneta sia bilanciata.

Possiamo definire:

${\displaystyle \Omega =\{C,T\}}$

${\displaystyle F=\{\varnothing ,\{C\},\{T\},\{C,T\}\}}$

Gli assiomi di Kolmogorov implicano che:

${\displaystyle P(\varnothing )=0}$

La probabilità di non avere testa o croce è 0.

${\displaystyle P(\{C,T\}^{c})=0}$

La probabilità di una testa o croce, è 1.

${\displaystyle P(\{C\})+P(\{T\})=1}$

La somma della probabilità delle teste e delle croci è 1.

• Morris H. DeGroot, Probability and Statistics, Reading, Addison-Wesley, 1975, pp. 12–16, ISBN 0-201-01503-X.
• James R. McCord e Richard M. Moroney, Axiomatic Probability, in Introduction to Probability Theory, New York, Macmillan, 1964, pp. 13–28.

• Algebra di Borel
• σ-algebra
• Insiemistica
• Probabilità condizionale

• Calcolo delle probabilità di Kolmogorov, Stanford Encyclopedia of Philosophy.
• La definizione formale di probabilità nel sistema Mizar e l' ^{[collegamento interrotto]} hanno dimostrato formalmente al riguardo.