Kelipatan persekutuan terkecil

Dalam aritmetika dan teori bilangan, kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan adalah bilangan bulat positif terkecil yang dapat dibagi habis oleh kedua bilangan tersebut.^[1][2] Kelipatan persekutuan terkecil biasanya disingkat sebagai ${\displaystyle \operatorname {KPK} }$^[3] atau dituliskan ${\displaystyle \operatorname {lcm} }$, abreviasi dari bahasa Inggris: least common multiple^[4] atau bahasa Inggris: lowest common multiple. Notasi kelipatan persekutuan dari bilangan ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ dituliskan sebagai ${\displaystyle \operatorname {KPK} (a,b)}$ atau ${\displaystyle \operatorname {lcm} (a,b)}$. Terkadang, ada juga beberapa buku yang menotasikannya sebagai ${\displaystyle [a,b]}$.^[5][6]

Sebagai contoh, diberikan bilangan bulat ${\displaystyle 12}$ dan ${\displaystyle 20}$. Karena kelipatan dari masing-masing kedua bilangan adalah ${\displaystyle 12,24,36,48,{\color {red}{60}},\dots }$ dan ${\displaystyle 20,40,{\color {red}{60}},80,\dots }$, maka ${\displaystyle \operatorname {KPK} (12,20)=60}$. Kelipatan persekutuan lainnya adalah

${\displaystyle 120,180,240,300,\dots }$.

Suatu kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan yang lebih dari dua dapat dilakukan dengan cara yang serupa.

Perhitungan

Menggunakan faktor persekutuan terbesar

Kelipatan persekutuan terbesar dapat juga dihitung melalui rumus berikut.

${\displaystyle \operatorname {KPK} (a,b)={\frac {ab}{\operatorname {FPB} (a,b)}}}$.[7]

dimana ${\displaystyle \operatorname {FPB} }$ adalah faktor persekutuan terbesar.

Contoh

Pohon faktor

Cara sederhana dapat digunakan untuk mencari kelipatan persekutuan terkecil dari 2 atau 3 bilangan yang tidak terlalu besar, namun untuk bilangan yang lebih besar sebaiknya menggunakan pohon faktor. Misalnya, diminta untuk mencari kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan 147, 189 dan 231. Buat pohon faktor dari masing-masing bilangan:

      147    189     231
       /\     /\      /\
      3 49   3 63    3 77
        /\     /\      /\
       7  7   7  9    7 11
                 /\
                3  3

Susun bilangan dari pohon faktor untuk mendapatkan faktornya. Kita memperoleh ${\displaystyle 147=3\times 7^{2}}$, ${\displaystyle 189=3^{3}\times 7}$, dan ${\displaystyle 231=3\times 7\times 11}$. Ambil faktor-faktor yang memiliki pangkat terbesar, dalam hal ini ${\displaystyle 3^{3}}$, ${\displaystyle 7^{2}}$ dan ${\displaystyle 11}$. Kalikan faktor-faktor tersebut:

${\displaystyle 3^{3}\times 7^{2}\times 11=14553}$.

Maka, kelipatan persekutuan terkecil dari ketiga bilangan di atas adalah ${\displaystyle 14553}$. Dengan kata lain, tidak ada bilangan yang lebih kecil dari ${\displaystyle 14553}$ yang dapat dibagi habis oleh bilangan 147, 189 dan 231.

Lihat pula

• Faktor persekutuan terbesar (FPB)

Catatan

1. ^ Weisstein, Eric W. "Least Common Multiple". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-11-26. 
2. ^ Hardy & Wright, § 5.1, hlm. 48
3. ^ Itsnaini, Faqihah Muharroroh. "Apa Perbedaan KPK dan FPB? Ini Penjelasannya". detikcom. Diakses tanggal 2021-11-14. 
4. ^ "Definition of least common multiple | Dictionary.com". www.dictionary.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-11-14. 
5. ^ Long (1972, hlm. 39)
6. ^ (Pettofrezzo & Byrkit 1970, hlm. 56)
7. ^ Weisstein, Eric W. "Least Common Multiple". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-11-21. 

Referensi

• Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1979), An Introduction to the Theory of Numbers (Fifth edition), Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853171-5 
• Long, Calvin T. (1972), Elementary Introduction to Number Theory (edisi ke-2nd), Lexington: D. C. Heath and Company, LCCN 77-171950