Integrasi cakram

Integrasi cakram, dikenal dalam kalkulus integral sebagai metode cakram, adalah sebuah metode untuk menghitung volume sebuah benda putar dari sebuah material benda ketika mengintegrasi sepanjang sebuah sumbu "paralel" ke sumbu edar. Metode ini memodelkan hasil bentuk tiga dimensi sebagai sebuah tumpukan dari sebuah jumlah cakram jari-jari bervariasi yang tak terhingga dan ketebalan infinitesimal. ini juga memungkinkan untuk menggunakan prinsip-prinsip yang sama dengan gelanggang bukan cakram ("metode pencuci") untuk memperoleh benda putar yang berongga. Ini berlawanan dengan integrasi kulit, yang mengintegrasikan sepanjang sebuah sumbu tegak lurus dengan sumbu edar.

Definisi

Fungsi dari ${\displaystyle x}$

Jika fungsi yang diputar adalah sebuah fungsi dari ${\displaystyle x}$, integral berikut mewakili volume benda putar:

$${\displaystyle \pi \int _{a}^{b}R(x)^{2}\,\mathrm {d} x}$$

dimana ${\displaystyle R(x)}$ adalah jarak antara fungsi dan sumbu rotasi. Ini bekerja hanya jika sumbu putar adalah horizontal (contoh: ${\displaystyle y=3}$ atau konstanta lainnya)

Fungsi dari ${\displaystyle y}$

Jika fungsi yang diputar adalah sebuah fungsi dari ${\displaystyle y}$, integral berikut akan memperoleh volume benda putar:

$${\displaystyle \pi \int _{c}^{d}R(y)^{2}\,\mathrm {d} y}$$

dimana ${\displaystyle R(y)}$ adalah jarak antara fungsi dan sumbu rotasi Ini bekerja hanya jika sumbu putar adalah vertikal (contoh: ${\displaystyle x=4}$ atau konstanta lainnya).

Metode pencuci

Untuk memperoleh sebuah benda putar berongga ("metode pencuci"), tata caranya akan mengambil volume dari benda putar dalam dan menguranginya dari volume dari benda putar luar. Ini dapat dihitung dalam sebuah integral tunggal yang serupa dengan berikut.

$${\displaystyle \pi \int _{a}^{b}R_{\mathrm {O} }(x)^{2}-R_{\mathrm {I} }(x)^{2}\,\mathrm {d} x}$$

dimana ${\displaystyle R_{\mathrm {O} }(x)}$ adalah fungsi yang paling terjauh dari sumbu putar dan ${\displaystyle R_{\mathrm {I} }(x)}$ adalah fungsi yang paling terdekat dari sumbu putar. Misalnya, gambar selanjutnya menunjukkan rotasi sekitar sumbu-${\displaystyle x}$ dari "daun" merah yang ditutupi antara akar kuadrat dan kurva kuadratik:

Volume benda ini adalah:

$${\displaystyle \pi \int _{0}^{1}\left(\left({\sqrt {x}}\right)^{2}-\left(x^{2}\right)^{2}\right)\,\mathrm {d} x}$$

Salah satunya harus berhati-hati untuk tidak mengevaluasi kuadrat dari selisih dari dua fungsi, tetapi untuk mengevaluasi selisih dari kuadrat dari dua fungsi.

$${\displaystyle R_{\mathrm {O} }(x)^{2}-R_{\mathrm {I} }(x)^{2}\neq (R_{\mathrm {O} }(x)-R_{\mathrm {I} }(x))^{2}}$$

(Rumus ini hanya bekerja untuk putaran mengenai sumbu-${\displaystyle x}$.)

Untuk memutar setiap sumbu horizontal, sederhanakan pengurangan dari sumbu itu setiap rumusnya. Jika ${\displaystyle h}$ adalah nilai sebuah sumbu horizontal, maka volumenya sama dengan

$${\displaystyle \pi \int _{a}^{b}\left(\left(h-R_{\mathrm {O} }(x)\right)^{2}-\left(h-R_{\mathrm {I} }(x)\right)^{2}\right)\,\mathrm {d} x}$$

Misalnya, untuk memutar daerah antara ${\displaystyle y=-2x+x^{2}}$ dan ${\displaystyle y=x}$ sepanjang sumbu ${\displaystyle y=4}$, salah satunya akan mengintegrasi sebagai berikut:

$${\displaystyle \pi \int _{0}^{3}\left(\left(4-\left(-2x+x^{2}\right)\right)^{2}-(4-x)^{2}\right)\,\mathrm {d} x}$$

Batas integrasi tersebut adalah nol dari persamaan pertama dikurangi dengan kedua. Perhatikan bahwa ketika mengintegrasi sepanjang sebuah sumbu selain ${\displaystyle x}$, grafik dari fungsi yang terjauh dari sumbu putar tidak terlalu jelas. Dalam contoh sebelumnya, meskipun grafik ${\displaystyle y=x}$, berkenaan dengan sumbu-${\displaystyle x}$; lebih jauh dari grafik ${\displaystyle y=-2x+x^{2}}$, berkenaan dengan sumbu putar, fungsi ${\displaystyle y=x}$ adalah fungsi dalam: grafiknya dekat dengan ${\displaystyle y=4}$ atau persamaan dari sumbu putar dalam contoh tersebut.

Gagasan yang sama dapat diterapkan pada kedua sumbu-${\displaystyle y}$ dan sumbu vertikal lainnya. Salah satunya harus menyelesaikan setiap persamaan untuk ${\displaystyle x}$ sebelum salah satunya memasukkan mereka ke rumus integrasi.

Lihat pula

• Benda putar
• Integrasi kulit

Referensi