Térszög

Térszög

A térszög (jele: Ω) olyan szög a háromdimenziós térben, amelyet egy 0 csúcspontú, tetszőleges zárt vezérgörbéjű kúp határoz meg. A térszöget annak a felületdarabnak a nagyságával mérjük, amelyet a kúpfelület az 0 középpontú gömbből kivág. (A kivágott felület alakja közömbös, csak a nagysága számít.)

A térszög azt méri, hogy az adott pontból nézve milyen nagynak tűnik egy objektum. (Például egy közel lévő kis objektum ugyanakkora térszöget zárhat be, mint egy távoli nagy objektum.) A térszög úgy viszonyul a gömb felszínéhez, mint a síkszög a kör kerületéhez, vagyis értéke egyenesen arányos az objektumnak vetületének az 0 középpontú gömb felszínén mért területével (S) , és fordítottan a gömbsugár (r) négyzetével: Ω = k   S / r 2 {\displaystyle \Omega ={k}\ {S/}{r^{2}}} (ahol k arányossági konstans).

Amennyiben a k konstanst 1-nek választjuk, akkor a térszög mértékegysége az SI-beli szteradián (jele: sr). Ekkor a térszög legnagyobb értéke a teljes gömbfelülethez tartozik: Ω = S / r 2 = ( 4 π r 2 ) / r 2 = 4 π   s r ≈ 12 , 57   s r {\displaystyle \Omega ={S/}{r^{2}}={(4\pi r^{2})/}{r^{2}}=4\pi \ \mathrm {sr} \approx 12{,}57\ \mathrm {sr} } .

A térszög mérhető még négyzetfokban ( k = ( 180 / π ) 2 {\displaystyle {k=(180/}\pi {)}^{2}} ) vagy gömbrészben ( k = 1 / 4 π {\displaystyle {k=1/4}\pi } ).

A gömbrész méretének meghatározásához az adott objektum területét osztani kell a gömb teljes felszínével. A gömbrész (legyen most jele: gr) értéke ezután átszámítható szteradiánná vagy négyzetfokká (legyen most jele: nf) a következő képletek segítségével:

  1. Ω s r = 4 π   Ω g r {\displaystyle \Omega _{sr}={4}\pi \ \Omega _{gr}} - a szteradián érték kiszámításához szorozni kell a gömbrész értéket 4 π {\displaystyle {4}\pi } -vel.
  2. Ω n f = 4 π   ( 180 / π ) 2   Ω g r = 129600   π   Ω g r {\displaystyle \Omega _{nf}={4}\pi \ {(180/}\pi {)}^{2}\ \Omega _{gr}={129600}\ \pi \ \Omega _{gr}} - a négyzetfok érték kiszámításához szorozni kell a gömbrész értéket 4 π ( 180 / π ) 2 {\displaystyle {4}\pi {(180/}\pi {)}^{2}} , vagyis 129600 π {\displaystyle {129600}\pi } -vel.

Definíció

Legyen A tetszőleges felület, és S A vetülete az r sugarú gömb felszínén. Ekkor az A felület Ω térszöge

Ω := S r 2 = ∫ ∫ A n → ^ ⋅ d A → ρ 2 {\displaystyle \Omega :={\frac {S}{r^{2}}}=\int \!\!\!\!\int _{A}{\frac {{\hat {\vec {n}}}\cdot d{\vec {A}}}{\rho ^{2}}}}

ahol n → ^ {\displaystyle {\hat {\vec {n}}}} a gömb középpontjából kifelé mutató egységvektor, d A → {\displaystyle d{\vec {A}}} infinitezimálisan kicsiny felületdarab, és ρ ennek a gömb középpontjától mért távolsága.

Alkalmazások

  • A fényerősség és a fénysűrűség (luminancia)
  • A gömbháromszögek gömbi feleslege
  • Fémkomplexekben a ligandumok méretének meghatározása
  • Elektromos és mágneses térerősség
  • Gauss-törvény

Más dimenziókban

A térszög általánosítható minden d dimenzióra a d-gömbre való kiterjesztéssel. A gömbi szimmetriával kapcsolatban gyakran szükség is van erre. A teljes d dimenziós gömb térszöge

Ω d = 2 π d / 2 Γ ( d 2 ) {\displaystyle \Omega _{d}={\frac {2\pi ^{d/2}}{\Gamma \left({\frac {d}{2}}\right)}}}

ahol Γ {\displaystyle \Gamma } a teljes gammafüggvény.

Ha d egész, akkor a gammafüggvény értéke kiszámítható. Ezzel

Ω d = { d π d / 2 ( d 2 ) ! d = 2 ˙ 2 d ( d − 1 2 ) ! ( d − 1 ) ! π ( d − 1 ) / 2 d ≠ 2 ˙ {\displaystyle \Omega _{d}={\begin{cases}{\frac {d\pi ^{d/2}}{\left({\frac {d}{2}}\right)!}}&d={\dot {2}}\\{\frac {2^{d}\left({\frac {d-1}{2}}\right)!}{(d-1)!}}\pi ^{(d-1)/2}&d\neq {\dot {2}}\end{cases}}}

Ez a képlet kiadja a kör kerületét a síkban és a 4π szteradiánt a háromdimenziós térben. Kevésbé nyilvánvaló, hogy a [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} intervallumra a 2-t adja ki, ami megegyezik ennek a szakasznak a hosszával.

Egyes objektumok térszögei

Tetraéder

Legyenek a tetraéder csúcsai A, B, C és O, ahol O az origó. Jelölje a →   , b →   , c → {\displaystyle {\vec {a}}\ ,\,{\vec {b}}\ ,\,{\vec {c}}} rendre az A-ba, B-be, C-be mutató vektorokat. A ϑ a {\displaystyle \vartheta _{a}\,} szög legyen a BOC szög, és defiiáljuk ehhez hasonlóan a ϑ b , ϑ c {\displaystyle \vartheta _{b},\,\vartheta _{c}} szögeket. Jelölje φ a b {\displaystyle \varphi _{ab}\,} az OAC és az OBC síkok által bezárt szöget, és definiáljuk a φ b c , φ a c {\displaystyle \varphi _{bc},\,\varphi _{ac}} szögeket analóg módon. A tetraéder O-nál levő térszöge

Ω = φ a b + φ b c + φ a c − π . {\displaystyle \Omega =\varphi _{ab}+\varphi _{bc}+\varphi _{ac}-\pi .\,}

Ez a gömbi felesleggel bizonyítható, és következményként egy olyan eredményt ad, ami megfelel a síkháromszög szögösszegéről szóló tételnek.

A tetraéder belső térszögeinek összege

∑ i = 1 4 Ω i = 2 ∑ i = 1 6 ϕ i − 4 π {\displaystyle \sum _{i=1}^{4}\Omega _{i}=2\sum _{i=1}^{6}\phi _{i}-4\pi }

ahol ϕ i {\displaystyle \phi _{i}\,} végigfut a hat lapszögön.

Oosterom and Strackee használható algoritmust adott a tetraéder O-nál levő térszögének kiszámítására.:[1] A fenti jelölésekkel

t g ( 1 2 Ω ) = [ a →   b →   c → ] a b c + ( a → ⋅ b → ) c + ( a → ⋅ c → ) b + ( b → ⋅ c → ) a , {\displaystyle \mathrm {tg} \left({\frac {1}{2}}\Omega \right)={\frac {[{\vec {a}}\ {\vec {b}}\ {\vec {c}}]}{abc+({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})c+({\vec {a}}\cdot {\vec {c}})b+({\vec {b}}\cdot {\vec {c}})a}},}

ahol

[ a →   b →   c → ] {\displaystyle [{\vec {a}}\ {\vec {b}}\ {\vec {c}}]}

annak a mátrixnak a determinánsa, aminek sorai az a → , b → , c → {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}} vektorok. Ez megegyezik a három vektor vegyes szorzatával. A felülhúzás nélküli kisbetűk a vektorok hosszát, az egymás mellé írt vektorok a két vektor skaláris szorzatát jelölik.

Egy másik hasznos képlet a térszöget a ϑ a , ϑ b , ϑ c {\displaystyle \vartheta _{a},\,\vartheta _{b},\,\vartheta _{c}} szögek függvényében adja meg. Ez L' Huilier tételéből adódik:

t g ( 1 4 Ω ) = t g ( ϑ s 2 ) t g ( ϑ s − ϑ a 2 ) t g ( ϑ s − ϑ b 2 ) t g ( ϑ s − ϑ c 2 ) {\displaystyle \mathrm {tg} \left({\tfrac {1}{4}}\Omega \right)={\sqrt {\mathrm {tg} \left({\frac {\vartheta _{s}}{2}}\right)\mathrm {tg} \left({\frac {\vartheta _{s}-\vartheta _{a}}{2}}\right)\mathrm {tg} \left({\frac {\vartheta _{s}-\vartheta _{b}}{2}}\right)\mathrm {tg} \left({\frac {\vartheta _{s}-\vartheta _{c}}{2}}\right)}}}

ahol

ϑ s = ϑ a + ϑ b + ϑ c 2 {\displaystyle \vartheta _{s}={\frac {\vartheta _{a}+\vartheta _{b}+\vartheta _{c}}{2}}}

Kúp, gömbsüveg, félgömb

Kúp (1) és gömbsüveg metszete (2) gömbben.
Az ábrán θ = a/2 és r = 1.

A 2 θ {\displaystyle 2\theta \,\!} csúcsszögű kúp térszöge az egységgömbi gömbsüveg felszínével egyenlő:

Ω = 2 π ( 1 − cos ⁡ θ ) . {\displaystyle \Omega =2\pi \left(1-\cos {\theta }\right).\,\!}

Ez az eredmény a következő kettős integrállal számítható ki:

∫ 0 2 π ∫ 0 θ sin ⁡ θ ′ d θ ′ d ϕ = 2 π ∫ 0 θ sin ⁡ θ ′ d θ ′ = 2 π [ − cos ⁡ θ ′ ] 0 θ   = 2 π ( 1 − cos ⁡ θ ) . {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\theta }\sin \theta '\,d\theta '\,d\phi =2\pi \int _{0}^{\theta }\sin \theta '\,d\theta '=2\pi \left[-\cos \theta '\right]_{0}^{\theta }\ =2\pi \left(1-\cos \theta \right).}

Arkhimédész bebizonyította az integrálszámítás használata nélkül, hogy a gömbsüveg felszíne megegyezik annak a körnek a területével, aminek ugyanakkora a sugara, mint a gömbsüveg peremének és annak a pontnak a távolsága, ahol a gömbsüveg szimmetriatengelye metszi a gömbsüveget. A diagramon ez a sugár:

2 r sin ⁡ ( θ 2 ) .   {\displaystyle 2r\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right).\,\ }

Így az egységgömbi gömbsüveg térszöge:

Ω = 4 π sin 2 ⁡ ( θ 2 ) = 2 π ( 1 − cos ⁡ θ ) .   {\displaystyle \Omega =4\pi \sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)=2\pi \left(1-\cos {\theta }\right).\,\ }

Ha θ = π/2, akkor a gömbsüvegből félgömb lesz, aminek térszöge 2π.

Egy kúp komplementerének térszöge:

4 π − Ω = 2 π ( 1 + cos ⁡ θ ) . {\displaystyle 4\pi -\Omega =2\pi \left(1+\cos {\theta }\right).\,\!}

A Föld felszínén a θ {\displaystyle \theta \,\!} szélességen álló csillagász az éggömbnek ekkora részét figyelheti meg (az éggömb forgásának beszámításával):

1 2 ( 1 + cos ⁡ θ ) .   {\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1+\cos {\theta }\right).\,\ }

Az Egyenlítőről minden látszik, a sarkokról csak a fél éggömb.

Piramis

A téglalap alapú egyenes gúla térszöge

Ω = 4 arcsin ⁡ ( sin ⁡ a 2 sin ⁡ b 2 ) . {\displaystyle \Omega =4\arcsin \left(\sin {a \over 2}\sin {b \over 2}\right).\,\!}

ahol a és b a szemben fekvő oldalak lapszöge.

Ha az alap oldalhosszai α és β, és a piramis magassága d, akkor a térszög:

Ω = 4 arcsin ⁡ α β ( 4 d 2 + α 2 ) ( 4 d 2 + β 2 ) . {\displaystyle \Omega =4\arcsin {\frac {\alpha \beta }{\sqrt {(4d^{2}+\alpha ^{2})(4d^{2}+\beta ^{2})}}}.\,\!}

Szélességi-hosszúsági téglalap

Egy szélességi és hosszúsági körök által határolt gömbi téglalap középponti szöge

( sin ⁡ φ N − sin ⁡ φ S ) ( ϑ E − ϑ W ) {\displaystyle \left(\sin \varphi _{N}-\sin \varphi _{S}\right)\left(\vartheta _{E}-\vartheta _{W}\,\!\right)} , ahol φ N {\displaystyle \varphi _{N}\,\!} és φ S {\displaystyle \varphi _{S}\,\!} a határoló északi és déli szélességi kör, és ϑ E {\displaystyle \vartheta _{E}\,\!} és ϑ W {\displaystyle \vartheta _{W}\,\!} a határoló keleti és a nyugati hosszúsági kör. A hosszúsági körök radiánban mért szöge kelet felé nő.[2]

Matematikailag ez egy φ N − φ S {\displaystyle \varphi _{N}-\varphi _{S}\,\!} hosszú körívet jelent, ami ϑ E − ϑ W {\displaystyle \vartheta _{E}-\vartheta _{W}\,\!} radiánt söpör végig. Ha a hosszúság eléri a 2π radiánt, vagy a szélesség a π radiánt, akkor a térszög az egész kört átfogja.

A szélességi-hosszúsági téglalap térszöge nem tévesztendő össze a piramid csúcsszögével. A piramid oldalai főkörívekben metszik a gömböt, és a szélességi körök nem főkörök.

A Nap és a Hold

A Nap és a Hold is az éggömb 0,001%-át foglalja el, vagyis úgy 6·10−5 szteradiánt.[2]

Jegyzetek

  1. ↑ Van Oosterom, A, Strackee, J (1983). „The Solid Angle of a Plane Triangle”. IEEE Trans. Biom. Eng. BME-30, 125-126. o. DOI:10.1109/TBME.1983.325207.  
  2. ↑ [1]

Források

  • Arthur P. Norton, A Star Atlas, Gall and Inglis, Edinburgh, 1969
  • F. M. Jackson, Polytopes in Euclidean n-Space. Inst. Math. Appl. Bull. (UK) 29, 172-174, Nov./Dec. 1993.
  • Eric W. Weisstein, Spherical Excess at MathWorld.
  • Eric W. Weisstein, Solid Angle at MathWorld.